Complexes, transformer cercle en droite

[ilelogique]

Bonjoir,
Je cherche une fonction complexe, la plus simple possible, qui transformerait un cercle en droite (ou le contraire) et si possible, que le cercle et la droite soient simples aussi (genre cercle trigo et un axe du repère).
Merci.
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[phys4]

Bonjour,

Il y a une solution très simple :
C'est la fonction z' = 1/z
Si z représente la droite x = 0 et bien sur z = x + iy
Alors z' parcourt le cercle compris entre l'origine et la droite (inversion simple).
Pour recentrer le cercle et la droite, il faut ajouter des termes à la transformation.

[ilelogique]

je ne comprends pas,
si z est sur l'axe des y (donc z est sur la droite x=0, c'est à dire z = iy) alors f(z)=1/z=1/(iy)=i/-y=-i/y c'est encore un point de l'axe des y (imaginaire pur)

[phys4]

je ne comprends pas,
si z est sur l'axe des y (donc z est sur la droite x=0, c'est à dire z = iy) alors f(z)=1/z=1/(iy)=i/-y=-i/y c'est encore un point de l'axe des y (imaginaire pur)

Excuses moi, je voulais écrire x = 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ilelogique]

Merci, oui en effet ça marche (la droite x=1 s'envoie sur le cercle de rayon 1/2 et de centre (1/2;0)) par la fonction complexe z donne 1/z).

- Cela fonctionne-t-il pour n'importe quelle droite verticale x=a (a non nul) ?

- Avez-vous une preuve simple de cela ? (évitant de longs calculs sur les distances)

- Si z'=1/z alors z= 1/z', le cercle plus haut ne devrait-il pas aller sur la droite ? Je n'ai pas l'impression que ce soit le cas.
Or dans mon titre, je demandais le contraire, mais bon, merci toujours...



merci.

[phys4]

- Cela fonctionne-t-il pour n'importe quelle droite verticale x=a (a non nul) ?

- Avez-vous une preuve simple de cela ? (évitant de longs calculs sur les distances)

- Si z'=1/z alors z= 1/z', le cercle plus haut ne devrait-il pas aller sur la droite ? Je n'ai pas l'impression que ce soit le cas.
Or dans mon titre, je demandais le contraire, mais bon, merci toujours...

merci.

Cela fonctionne avec n'importe quelle valeur de x (sauf 0)

La transformation correspond à l'inversion géométrique associé à la symétrie.
Elle est symétrique bien sûr. Vous pouvez donc partir du cercle pour arriver à la droite.

La preuve est la plus simple est de voir que le produit z z' = 1, donc que les deux point correspondants ont des modules inverses et des angles égaux de part et d'autre de 0x. Cela demande une petite connaissance de base des complexes, j'espère que c'est acceptable pour vos spectateurs.

[ilelogique]

je ne comprends pas comment :
Si par exemple on prend des points du cercle de centre (1,0) et rayon 1 image donc du cercle trigo par la translation de vecteur (1,0) :
tout point de ce cercle est de la forme 1+cost+isint,
donc son image donne après produit par le conjugué et simplification en bas :
(1+cost-isint)/(2 + 2cost)
soit : 1/2 + i(sint/(2+2cost) c'est à dire un point de la droit d'équation x=1/2 et non pas x=2

[phys4]

Oui, l'inversion inverse aussi la taille, si vous prenez un cercle plus grand, la droite est plus prés de l'origine et vice versa.
Si vous voulez une belle figure avec le cercle (1,0) R=1 alors
prenez la transformation z z' = 2, la droite traversera la cercle suivant un diamètre.

[ilelogique]

merci,
oui je vois bien le truc,
mais j'aurais voulu une argumentation très simple (je ne vais pas faire en spectacle les démonstrations avec des considérations de module...)
Merci toujours !