Problème avec 2 exercices de maths sur les trinômes (classe première S)

[Niina26]

Bonjours, mon professeur de mathématiques nous a donné un DM à faire pour lundi sur deux exercices. Mais je ne comprends vraiment pas les questions, nous n'avons pas encore fait une leçon qui pourrait m'aider pour ces exercices. Voici les énoncés:

Premier exercice:
1) Vrai ou faux ?
On considère un trinôme ax²+bx+c, a≠ de 0 et son discriminant Δ (delta).
a. Si ax²+bx+c <0 pour tout x réel, alors Δ(delta) <0.
b. Si Δ(delta)<0 alors ax²+bx+c <0 pour tout réel x.

Deuxième exercice:
2)
a. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que 1 soit solution de l'équation ax²+bx+c =0.
b. Déterminer alors la seconde solution de l'équation ax²+bx+c =0 en fonction de a, b et c.

Voila, merci d'avance, et merci pour le peu de temps que vous me consacrez !
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[phys4]

Bonjour,

Pour le 1a. le trinôme toujours négatif implique qu'il n'a pas de racines, conséquence pour ?
Pour 1b. examiner le signe du trinôme n'ayant pas de racines en fonction du signe de a

Pour 2a. Il faut penser à la factorisation du trinôme.
Pour 2b. Utilisez le produit des racines.

Difficile d'en dire plus sans donner directement les réponses. Au revoir.

[Niina26]

Donc pour 1)a. la réponse est vrai mais comment le prouver??
Et pour la 1)b. la réponse est "faux"

[Niina26]

Donc pour le 1er exercice j'ai réussi (j'ai fais des démonstrations et des contres-exemples) mais pour le 2 je n'y comprends toujours rien :s Un petit coup de pouce serais le bienvenue Comment débuter l'exercice 2 ?? Il faut factoriser le trinôme??

[A voir en vidéo sur Futura]

[L-etudiant]

Salut,

as-tu fais la 2a ?

Si , .

Pour la 2b, phys4 fait référence aux a ca :

si , sont racines alors :

[L-etudiant]

Salut,

as-tu fais la 2a ?

Si , .

Pour la 2b, phys4 fait référence aux a ca :

si , sont racines alors :

En reprenant les calculs, j'ai vu qu'il y avait une erreur :



désolé.

[Niina26]

Pour le 2)a. je les fais, c'est bon mais le 2. b. je ne vois pas comment on peut faire. Pour le 2)a. j'ai trouvé que la condition est que a+b+c = O

[Niina26]

Mais pour la 2)b. je ne vois pas la seconde solution de l'équation ax²+bx+c =0 en fonction de a, b et c. Pourquoi utiliser x1 et x2 ??

[L-etudiant]

Les formules que j'ai rappelé donne un lien entre a, b, c et les racines...

[Niina26]

Je ne vois vraiment pas :s Je suis bloquée !

[Niina26]

Pour la 2)b. pourrait-on me montrer la première chose à faire, voir m'écrire juste le début du calcul, de la démonstration pour que je puisse mieux comprendre? et après je ferai le reste du calcul ??

[Duke Alchemist]

Bonjour.

N'as-tu pas vu les relations indiquées par L-etudiant dans les messages #5 et #6 (pour la correction) ?
Si oui, tu poses x₁=1 et tu en déduis x₂.

Sinon, il y a la méthode de l'identification des coefficients en sachant que si 1 est solution de l'équation, alors tu peux factoriser par (x-1).

Duke.

[Niina26]

Pour la méthode de l'identification des coefficients, il faut faire:
(x-1) (ax²+bx+c) ??
ax^3+bx²+cx-ax²-bx-c
ax^3+(b-a)x²+(c-b)x-c

?? mais cela ne sert pas à la factorisation des trinômes de degrè 3 ??

[Duke Alchemist]

Non non.

Tu dois factoriser ax²+bx+c par (x-1).
Tu auras donc une expression du type (x-1)(a'x+b') à identifier : c'est bien du degré 2.

Duke.

[L-etudiant]

Pour la méthode de l'identification des coefficients, il faut faire:
(x-1) (ax²+bx+c) ??
ax^3+bx²+cx-ax²-bx-c
ax^3+(b-a)x²+(c-b)x-c

?? mais cela ne sert pas à la factorisation des trinômes de degrè 3 ??

Non, Duke Alchemist par de la forme canonique du polynome... f(x)=a(x_1 - x)(x_2 -x).
Il faudrait que revoies peut-etre ton cours. Je sais que c'est pas evident au début mais y'a des trucs a apprendre par coeur (ou du moins a savoir retrouver vite fait...).

[Niina26]

Donc ça donne x=1 ou x=??

[Duke Alchemist]

Re-

@L-etudiant :
Ce n'est qu'une forme factorisée que j'ai proposée et non la forme canonique même si elle se ressemble beaucoup sur le coup

@Niina26 :
Déjà, comprends-tu bien le fait que si 1 est racine du polynôme, alors ce polynôme est factorisable par (x-1) ?
Si oui, le polynôme de degré 2 est alors factorisable sous la forme (x-1)(a'x+b').
Les racines seront alors x₁=1 et x₂=-b'/a'... OK ?

Cependant, nous n'avons pas a' et b' d'où l'idée de l'identification :
En développant (x-1)(a'x+b') et en l'identifiant à ax²+bx+c, tu obtiendra un système te permettant d'exprimer a' et b' en fonction de a, b et c et d'en déduire x₂ en fonction de a,b et c.

As-tu compris ?

Duke.

EDIT : Sinon, je reste convaincu que la méthode "x1+x2=-b/a et x1*x2=c/a" (proposée par L-etudiant) est nettement plus rapide (et par la même occasion efficace )

[L-etudiant]

Re-

@L-etudiant :
Ce n'est qu'une forme factorisée que j'ai proposée et non la forme canonique même si elle se ressemble beaucoup sur le coup

Duke.

Oui mais non : j'ai ete trop vite, je me suis planté.

[Duke Alchemist]

Oui mais non : j'ai ete trop vite, je me suis planté.

Mais non... c'était juste une remarque en passant...
Il ne faut pas mal le prendre.
Nul ne t'en voudra, tu sais

Maintenant, attendons les propositions de Niina26.

Cordialement,
Duke.

[Niina26]

Donc si j'ai bien compris, il faut factoriser (x-1)(a'x+b') ??
Et comment trouver a' et b' ??
et pour la solution avec x1 et x2 je ne comprends pas beaucoup :s

[Niina26]

je ne vois ps comment faire la méthode de l'étudiant avec x1 et x2. Par quels nombres dois-je remplacer x1+x2=-b/a et x1*x2=c/a ??

[L-etudiant]

je ne vois ps comment faire la méthode de l'étudiant avec x1 et x2. Par quels nombres dois-je remplacer x1+x2=-b/a et x1*x2=c/a ??

x_1 et x_2 sont par définition les racines de ton polynome, i.e. f(x_1)=f(x_2)=0...

Or tu en connais déjà une...

[Niina26]

Je ne sais pas si c'est ça mais j'ai trouvé comme solution (x-1)(ax+b)=0 et je crois que c'est la deuxième solution.

[Duke Alchemist]

Bizarrement, je crois que tu n'as pas bien compris où je voulais en venir pourtant tu as su le faire avec un degré 3...

On reprend.

Méthode 1 : identification des coefficients.
Tu pars de ax²+bx+c que tu dois factoriser.
Tu sais que 1 est solution (on te le dit). Tu peux donc factoriser par (x-1). Tu en es convaincue au moins ?
Ainsi la forme factorisée sera du type (x-1)(a'x+b'). Toujours OK ?
Cela veut donc dire que x1=1 et x2=-b'/a' sont les racines du polynôme.
En développant et en regroupant les termes de cette expression, on trouve a'x² + (b'-a')x - b' Oui ? Non ?
Si tu l'identifies au polynôme de départ, tu trouves le système :
a' = a
b'-a' = b
-b' = c
De là, tu trouves a' et b' et tu en déduis x2 (qui t'est demandée).

Méthode 2 : utilisation de la somme et du produit des racines
x1+x2 = -b/a
x1*x2 = c/a
or x1 = 1 donc par simple substitution tu détermines x2 en fonction de a,b et c.

Vois si tu trouves les mêmes résultats puis utilise celle qui te paraît la plus simple.
Il pourrait même y avoir d'autres méthodes...

Duke.

[Niina26]

Mercii Duke !!! j'ai tout compris !! je fais l'exercice et je vous donne la réponse !!
Encore merci pour cette explication !!

[Niina26]

a' = a a'=a
b'-a' = b <=> b'=b+a
-b' = c -b'=-b-a
c=-b-a
Ca y est alors les solutions sont x1=1 et x2=c/a !

[Duke Alchemist]

Bonjour.

C'est bien ça pour x₂ qui peut aussi s'exprimer en fonction de a et b : x2=-b/a - 1.

Et en utilisant la méthode 2, c'est immédiat :
1+x₂ = -b/a donc x₂ = -b/a - 1
et
1*x₂=c/a donc x₂=c/a

Duke.

[floflo59253]

Bonjours, moi j'ai a peu près le même exercice, et je n'y arrive pas du tout

On considère un trinôme ax² + bx+c avec a≠0 et c≠0
1) La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ( justifier)
" Si a et c sont des signes opposés, le trinôme a toujours des racines "
2) Sa réciproque est-elle vraie ou fausse ( justifier)

Merci d'avance de votre aide, si possible répondais le plus vite cet exercice est pour demain

[involutive]

Salut!

1) demande-toi quand le trinôme a toujours ses racines --> regarde le disciminant delta... il comporte a et c. Si a et c sont de signes opposés, ça entraîne quelque chose pour le discriminant...

2) trouve un contre-exemple avec des valeurs pour a, b et c

Bonne chance!