Démonstration Terminale S Option Maths.

[invitecc6fc411]

Salut, notre prof nous a donné un exercice à faire à la maison avec une démonstration un peu difficile, et je demande un peu d'aide
Pour tout n naturel
[(a+b)/2]^n <= (a^n + b^n)/2
Sachant que a et b sont rééls et strictement positifs.

Merci d'avance
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[inviteea028771]

Une petite récurrence fonctionne

Il ne faut pas hésiter à majorer "brutalement" pour la suite

[invitecc6fc411]

J'ai essayé avec le raisonnement par récurrence mais je bloque après avoir avoir mis au même dénominateur les 2 nombres.

[inviteea028771]

Oula, oui, je ne sais pas ce que j'ai fait mais c'était vraiment n'importe quoi

La récurrence fonctionne mais n'est pas immédiate :



Reste à montrer que

Pour cela, on étudie . On peut, sans perte de généralité, poser , on a alors :



or et donc

On a ainsi

Donc

Ce qui conclut la preuve

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecc6fc411]

Merci beaucoup mais pourrais tu m'expliquer :
- pourquoi peut on prendre a<b directement
et :
- pourquoi tu as remplacé (ba^n + ab^n) par a^n+1 + b^n+1
Je te serais très reconnaissant

[inviteea028771]

- pourquoi peut on prendre a<b directement

a et b jouent un rôle symétrique, donc on peut renommer a en b et inversement, on obtient la même chose :



Si tu préfères, tu peux éviter de poser , et de faire 2 cas pour les signes de et

pourquoi tu as remplacé (ba^n + ab^n) par a^n+1 + b^n+1

Je ne l'ai pas remplacé, je l'ai majoré.

Comme , on a

Donc

[invitecc6fc411]

Ah oui, je comprends maintenant.
Merci beaucoup pour l'explication