Bonjour,
quelqu'un serait-il m'éclairer sur ce problème:
On considère la suite (Un)n appartenant à N telle que Uo= 0 et pour tout n appartenant à N,
Un+1= √(20+Un)
a) Montrez que la suite (Un)n appartenant à N est croissante,
b) pour tout n appartenant à N, Un < ou = 5.
Voilà c'est un exercice sur lequel je bloque.
Merci.
Ps: si c'est possible me décrire les différentes étapes que vous faites pour arriver à la solution svp (je suis un novice en math)
Bonjour,
Vous pouvez considérer la fonction f : x -> √(20+x).
Vous remarquez que f est croissante et que Un+1=f(Un)
A partir de là vous pouvez montrer que (Un) est croissante par récurrence. Si vous supposez que Un+1≥Un alors montrez que Un+2≥Un+1, ça devrait être rapide ^^.
Pour la question b), en utilisant de nouveau f vous pouvez démontrer par récurrence la proposition.
merci de votre aide mais c'est un peu du charabia pour moi tout ça ^^' enfaite je suis vraiment un novice en mathématique j'ai fait des etudes en sc pol et ce n'est que cette année que j'ai commencé les maths. alors faisons de l'ordre:
1) j'ai compris la considération de la fonction
2) il me semble avoir saisi le concept de récurrence,
2) mais comment appliquer ces notions pour résoudre la suite?
voilà je sais mon niveau est très faible mais j'espère m'améliorer dans les semaines qui viennent
Le fait de prendre la fonction c'est une astuce. Ce n'est pas forcément évident d'y penser, mais rien ne vous interdit de définir cette fonction. A priori il n'y a pas spécialement de lien avec la suite, mais on a construit cette fonction un peu exprès pour que ça colle bien.
Si j'ai une suite qu'on définie en disant que pour tout n, Un+1=√(20+Un) et que vous définissez une fonction par f(x)=√(20+x) je ne pense pas que ça posera trop de problème d'affirmer à partir de là que pour tout n, Un+1=f(Un)
Jusque là on a pas dit de conneries, on a ajouté une fonction de manière artificielle, mais si ça se trouve ça ne sert à rien. L'avantage tout de même c'est que les fonctions c'est des choses qu'on connait bien et on a des théorèmes à leur propos.
La fonction f qu'on a définie est croissante. C'est à dire que les images respectent l'ordre de leurs antécédents, où encore que si vous avez a et b tels que a≥b alors vous avez f(a)≥f(b).
Maintenant qu'on a tout ces outils en poche, on peut commencer la démonstration à proprement parler, c'est à dire montrer que la suite est bien croissante. Comme on sait ce qu'on veut montrer et que ça s'applique à une suite, le raisonnement typique dans ces cas là c'est le raisonnement par récurrence.
Donc on se relève les manches et on se met au boulot. Même si on ne voit pas forcément exactement comment toute la démonstration va se dérouler, il faut commencer à rédiger*.
Initialisation :
U0=0
U1=√(20)
Ouaip, on a bien U1≥U0
Hérédité : On suppose pour un entier n fixé quelconque que Un+1≥Un et on veut montrer qu'alors on a Un+2≥Un+1.
Au pire du pire, si à ce stade là vous n'y arrivez pas, vous écrivez tout ce que vous savez au brouillon (ne jamais hésiter à noircir un brouillon !).
Vous savez que :
Un+1≥Un
Pour tout entier k, Uk+1=f(Uk)
Pour tout a et b tels que a≥b on a f(a)≥f(b)
Vous devriez voir comment on parvient au résultat à partir de là.
* Je ne saurais trop insister sur ce point. Dans l'immense majorité des cas si un élève ne parvient pas à faire un exo c'est parce qu'il ne se lance pas. L'élève sait qu'il doit faire une démonstration par récurrence, il reste devant sa feuille et il n'écrit rien car il ne parvient pas à visualiser comment va se dérouler en détails l'hérédité.
Lorsque j'étais en terminale je ne réfléchissais même pas à l'hérédité avant d'avoir déjà rédiger l'initialisation et précisé quelle était mon hypothèse de récurrence ainsi que ce que je devais démontrer. Une fois qu'on a fait ça, au pire on fini d'écrire (au brouillon si nécessaire) les autres choses qu'on sait, en général le résultat saute aux yeux à ce moment là.
ok merci beaucoup enfaite c'etait une prépa pour ce matin donc l'exo est déjà rendu. mais vos conseils me seront utiles pour les prochaines fois.
