Bonjour, j'ai un DM en math sur les dérivations et j'aimerais savoir si ce que j'ai trouvé est juste et si je dois plus développer certaines questions ou non .
Voila le DM:
Cout Total :
Une entreprise qui fabrique des objets estime que le coût total, en milliers d'euros, de production de x tonnes d'objets s'eprime, en fonction de x, par :
C(x)= x3 - 12x² + 60x
1) Etudier les variations de la fonction C sur [0; +infini[
2) Tracer sa représentation graphique (F) dans un repère orthogonal.
Coût moyen :
Le cout moyen de fabrication est donné par : Cm (x) = c(x)/x (pour x>0)
1. Quel est le cout moyen de fabrication de 500kg ?
2. On note A le point de (F) d'abscisse x. Epliquez pourquoi Cm(x) est égal au coefficient directeur de la droite (OA)
3. Exprimer Cm(x) en fonction de x, puis étudier les variations de la fonction Cm sur [0;+infini[
4. Tracer la représentation graphique (g) de la fonction Cm dans un repère orthogonal (O; i; j). (En abscisse : 1 cm pour une tonne; en ordonnée : 1 cm pour 10 000€)
Coût Marginal
On appelle coût marginal de x, le coût de fabrication de la (x+1)ième tonne. On le note Cm et on admet que :
Cm(x) = C'(x)
1. (a) Etudier les variations de la fonction Cm sur [0;+infini[
(b) Tracer la représentation graphique (H) de cette fonction dans le même repère que (G)
2. (a) Déterminer par le calcul l'abscisse a du point d'intersection des courbes (G) et (H)
(b) Que représente Cm (a) pour la fonction Cm ?
Bénéfice:
L'entreprise vend sa production 60 000€ la tonne. On note B(x) le bénéfice réalisé pour la vente de x tonnes.
1. Vérifier que B(x) = -x3 + 12x²
2. Etuider les variations de la fonction B.
3. Pour quelle valeur de x le bénefice est-il maximal ? Vérifier alors que, pour cette valeur de x, le cout marginal est égal au prix de vente unitaire.
&. voila les réponses que j'ai trouvés:
Pour le début, il suffit de calculer la dériver de C(x) = x^3 - 12x² + 60x qui vaut :C'(x)= 3x^2-24x+60=3(x^2-8x+20) qui est toujours positive car le déterminant est négatif. C(x) croit donc de [0;+[ infini lorsque x va de 0 + infini
EXERCICE 1 :
C(x) = x3-12x²+60x
1) C'(x) = 3xｲ-24x+60 = 3(xｲ-8x+20) > 0 sur R+ (car delta<0)
Donc :
C'est strictement croissante sur R+
EXERCICE 2 :
CM(x) = C(x)/x
1) CM(x) = C(x)/x
= x²-12x+60
0.5 tonnes = 500kg
Donc
CM(0,5) = 54,25
Cot moyen de fabrication de 500 kg = 54250 € (car 54.25x1000)
2) O(0;0)
A (x;C(x))
donc vecteur (OA) (x;C(x))
Donc le coefficient directeur de la droite (OA) vaut C(x)/x = CM(x)
3) CM(x) = C(x)/x = x²-12x+60
C'M(x) = 2x-12 = 2(x-6) du signe de x-6 sur R+
Donc :
Cm est strictement décroissante sur [0;6] et strictement croissante sur [6;+infini[
CM(0) = 60
CM(6) = 24
lim CM (+infini) = +infini
EXERCICE 3 :
Cm(x) = C'(x)
1) a)
Cm(x) = C'(x) = 3(xｲ-8x+20)
Cm'(x) = 3(2x-8) = 6(x-4) du signe de x-4 sur R+
Donc :
Cm est strictement dcroissante sur [0;4] et strictement croissante sur [4;+infini[
Cm(0) = 60
Cm(4) = 12
lim Cm (+infini) = +infini
2) a)
x²-12x+60 = 3(xｲ-8x+20)
ssi xｲ-12x+60 = 3xｲ-24x+60
ssi 2xｲ-12x = 0
ssi 2x(x-6) = 0
ssi x=0 ou x=6
Donc a=6
b) Je ne sais pas du tout ...
3) a) Benefice = Recettes - Cots
B(x) = 60x - C(x) = 60x - (x3-12x²+60x) = 60x-x3+12x²-60x = -x3+12x²
b)
B'(x) = -3xｲ+12 = 3(4-xｲ) = 3(2+x)(2-x) du signe de 2-x sur R+
Donc :
B est strictement croissante sur [0;4] et strictement décroissante sur [4;+infini[
B(0) = 0
B(4) = 128
lim B (+infini) = -infini
c) Le bénéfice est maximal pour x=4
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)
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