etude de convergence d'une suite

[invitea306da7c]

Salut tout le monde

J'aimerais que quelqu'un m'aide avec mon devoir, je suis vraiment paniqué puisqu'il faut le rendre jeudi. J'essaye de le comprendre mais tout seul je sens que je n'y arriverai pas voici tout d'abord l'énoncé:

a et b sont 2 réels donnés. L'objectif de cet exercice est d'étudier la convergence ' c a dire la lim en +00) de la suite (u_n) définie sur N par u_n+1=au_n+b

1.Répondre à la question dans le cas où a=1.(on pourra remarquer que u_n est une suite particulière)
2.Répondre à la question dans le cas où a different de 1.( On pourra considéré la suite définie par v_n=u_n-z ou z zst sol de ax+b=x


On se propose de construire une representation graphique approchée de la fonction f vérifiant la relation f'(x)=1+(f(x))² et f(0)=0 sur [-1.5;1.5]
1.En utilisant l'approximation affine f(a+D_x)~f(a)+D_x*f'(a), déterminer une valeur approchée de f(0.5) puis de f(1) en prenant D_x=0.5
2.Sur [0;1.5] Etablir que x_n+1=x_n+0.1 et y_n+1=0.1y_n²+y_n+0.1

Voila j'aimerai qu'on me guide pour mon exo merci d'avance de votre attention (:
-----

[invite51d17075]

bonjour,

tu pourait quand même essayer de commencer l'exercice.
( et d'éviter les cris de désespoir du style "question de vie ou de mort" )

bon la première question est évidente et il s'agit d'une suite arithmétique.
pour la seconde essayes d'ecrire V(n+1) en fontion de U(n+1) puis de remplacer U(n+1) par la formule en U(n).
en simplifiant tu aurra V(n+1) en fonction de V(n).

[invitee27a8b07]

Si tu bloques encore, sache que ce genre de suites se nomme suites arithmético-géométriques, et que Google est ton ami

[invitea306da7c]

Re dsl j'avais plus internet
donc

V(n+1) en fontion de U(n+1) puis de remplacer U(n+1) par la formule en U(n).
en simplifiant tu aurra V(n+1) en fonction de V(n).

j'obtiens v(n+1)= avn

( voulez vous les détails de calculs?)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

donc , c'est ça ( dans mon souvenir )
reste maintenant à trouver la limite de U(n) sans ce cas ( a diff de 1 )

[invitea306da7c]

c'est ça ( dans mon souvenir ???)

mais j'ai pas deja repondu à la question la?

1. un est yune suite arithmétique pour a =1 u(n+1)= u(n)+b, si lim b<0 lim u(n)=-00 et quand b>0 lim u(n)=+00
2.(vn) est une suite géométrique de raison a
Si -1<a<1, (vn) converge vers 0 et un= vn +/(1-a) converge vers b/(1-a) --'

[invitea306da7c]

I)a et b sont deux réels donnés. L'objectif de cet exercice est d'étudier la convergence (c'est à dire la limite en +∞) de la suite (Un) définie sur N par Un+1=aun+b.

1)Répondre à la question dans le cas particulier où a=1.
(On pourra remarquer que (Un) est une suite particulière)

2)Répondre à la question dans le cas où a≠1.(On pourra considérer la suite définie par vn=un-a ou a est solution de ax+b=x)

II) On se propose de construire sur l'intervalle [-1.5;1.5] une représentation graphique approchée de la fonction f solution de l'équation différentielle y'=1+y² avec comme condition initiale y(0)=0.

1) En utilisant l'approximation affine f(a+Δx)≈f(a)+Δx×f'(a), déterminer une valeur approchée de f(0.5) puis de f(1) en prenant Δx=0.5.

2) Sur [0;1.5], on choisit un pas Δx=0.1. On construit par la méthode d'Euler une suite de points Mn(xn;yn).
Etablir que xn+1=xn+0.1 et yn+1=0.1yn²+yn+0.1

3) Sur EXEL, construire ces deux suites. On placera dans la colonne A les valeurs de n , dans la colonne B les valeurs de xn et dans la colonne C les valeurs de yn pour n allant de 0 à 15. On obtient ainsi une approximation de f sur [0;1.5].

4)Sur [-1.5;0], on choisit un pas Δx=-0.1. On construit par la méthode d'Euler une suite de points qu'on nomme encore Mn(xn;yn).
Établir que xn+1=xn-0.1 et yn+1=-0.1yn²+yn-0.1

5) Dans les colonnes D et E, calculer les coordonnées des points Mn. Compléter la courbe obtenue dans la question 3 en se plaçant dans la zone graphique par un clic droit, puis sélectionner Données source/série/ajouter et enfin désigner les nouvelles valeurs de x puis celles de y.

6) Refaire la même chose sur [-1.5;1.5] avec un pas Δx=0.01

7) Connaissez-vous cette fonction f?


Oups c'est tout mon énoncé sa

[invitea306da7c]

Sur un internet je trouve mon exo mais celui/celle qui l'a fait a mis sa comme réponse:
1)f(0)=0 ⇒ f(0+0.5)≈f(0)+0.5×f'(0)
⇔f(0.5)≈0+0.5×(1+f(0)²)
⇔f(0.5)≈0+0.5×1+0≈0.5

f(1)≈f(0.5)+0.5f'(0.5)
≈0.5+0.5(1+f(0.5)²)
≈0.5+0.5+0.5×0.25
≈1.125

2)comme Δx=0.5
xn+1=xn+0.1
f(xn+1)=f(xn+0.1)≈f(xn+0.1(1+f (xn)²)
yn+1=yn+0.1+0.1×yn²=0.1yn²+yn+ 0.1

4)xn+1=xn-0.1
f(xn+1)=f(xn-0.1)≈f(xn)-0.1(1+f(xn)²)
yn+1=yn-0.1-0.1yn²=-0.1yn²+yn-0.1

C'est pas convenable on va dire de copier mais j'ai envie de dire l'heure est grave est-ce correct quand meme??

[invite51d17075]

mais j'ai pas deja repondu à la question la?

Si -1<a<1, (vn) converge vers 0 et un= vn +/(1-a) converge vers b/(1-a) --'

oui mais tu ne dis pas ce qu'il se passe pour a<1 et a>1

[invitea306da7c]

oui mais tu ne dis pas ce qu'il se passe pour a<1 et a>1

Si a>1 ou a<-1, vn et un divergent

[invite51d17075]

tes réponses au mess #8 sont bonnes !

[invitea306da7c]

ce ne sont malheureusement pas MES réponses mais bon
par contre les trucs sur excel je n'y arrive pas du tout o_O"

[invite51d17075]

la , je peux pas t'aider,
par contre, je reviens sur les convergences divergences pour a diff de 1 :
Vn=a^n*V0
et V0=U0-b/(1-a) donc
Vn=a^n*(U0-b/(1-a))
et Un=Vn+b/(1-a)
donc
Un=a^n(U(0)-b/(1-a)) +b/(1-a)

les cas ou Un ne diverge pas
si U(0)=b/(1-a) , U est cte et tj égal à b/(1-a)
si a=0 U est cte et tj égal à b

et si -1<a<1 Vn tend vers 0 mais Un tend vers b/(1-a)

[invitea306da7c]

la , je peux pas t'aider,
par contre, je reviens sur les convergences divergences pour a diff de 1 :
Vn=a^n*V0
et V0=U0-b/(1-a) donc
Vn=a^n*(U0-b/(1-a))
et Un=Vn+b/(1-a)
donc
Un=a^n(U(0)-b/(1-a)) +b/(1-a)

les cas ou Un ne diverge pas
si U(0)=b/(1-a) , U est cte et tj égal à b/(1-a)
si a=0 U est cte et tj égal à b

et si -1<a<1 Vn tend vers 0 mais Un tend vers b/(1-a)

Effectivement il aurait fallu que je sois plus précis d'acc je fais les modifications merci de votre aide ansset