Intégrale

[Meadowlark]

Bonjour, je ne comprends pas la résolution d'un exercice de mon cours

Il s'agit de l'intégrale de 1/((3x^2) - 2x +4) dx

L'équation n'est pas factorisable, il faut donc chercher un binôme conjugué

On met 3 en évidence: Intégrale de 1/(3 ((x^2) - 2x/3 + 4/3) dx

Ensuite le prof écrit : (x^2) - 2x/3 + 4/3 = (x^2) - 2x (1/3) + ((1/3)^2) - ((1/9)^2) + (4/3) = ((x - 1/3)^2) - 1/9 + 12/9

pour ensuite trouver

1/3 Intégrale de 1/( ((x-1/3)^2) + ((racine carré de 11)/3)^2)) dx


Je ne comprend pas cette étape et comment il a fait pour obtenir cela??

Merci d'avance pour votre aide!
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[phys4]

Bonsoir,

Il s'agit de la forme canonique du polynôme du second degré. L'intégrale est ramenée à l'inverse d'une somme de deux carrés.

Elle peut ainsi se résoudre car elle rappelle la dérivée de l'arctang (fonction inverse de tang)?

[Meadowlark]

Wow en effet la réponse finale sera bien une arctang!

Mais comment fait-on pour mettre un polynôme du 2e degré sous forme canonique??

[phys4]

Le but est de mettre la variable dans un seul terme au carré, vous considérez les deux termes en x comme le début du développement du carré d'un binôme du premier degré :

Soit ax² + bx + c = a ( x² + b/a .x + c/a) = a ( (x + b/2a)² - (b/2a)² + c/a) = a ( (x + b/2a)² - (b² - 4 ac)/4a² )

Avec cela l'écriture des racines devient évidente.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Meadowlark]

Merci beaucoup! Vous me sauvée