DM 1ereES : Equation du second degré

[invite8d778259]

Bonjour voilà, j'ai deux exo mais je bloque voici l'ennoncé du premier :

P(x)=2(x-3)²-1/2

1) Développer et réduire p(x)
p(x) = 2(x-3)²-1/2
p(x) = (x²-6x+9)-1/2
p(x) = 2x²-12x +18-1/2
p(x) = 2x²-12x +17.5

Forme canonique = a(x-alpha)²+ Beta
alpha = moyenne x1 + x2 / 2
f(alpha) = beta

2)Déterminer la factorisation de p(x). Pour cela, mettre 2 en facteur et reconnaître un différence de deux carrés.
2(x²-6x)+17.5

3) En utilisant l'expression la plus adapté de p(x), répondre aux questions suivantes:
a\ montrer que la fonction P admet un minimum dont on précisera la valeur;

b\Déterminer l'équation de l'axe de symétrie de la parabole représentant P;

c\résoudre l'équation p(x)=4

Le deuxième énnoncé :
Une entreprise fabrique 2 à 30 tonnes de peinture par jour. On estime que les coûts de fabrication de x tonnes de peinture, en euros, sont:
C(x)=12x²+20x+6600 , x ∈ [2;30]. La peinture est vendue en pot de 25kg, au prix de 50€ le pot. Tout kg de peinture fabriqué est vendu.
1) Vérifier que la recette R(x) en euros, pour x tonnes de peintures vendues, est R(x) = 2000 x

2) Résoudre dans |R (réel) l'inéquation :
12x²+20x+6600 <ou= 2000x

3) En déduire les quantités, en kg, que doit produire et vendre l'entreprise pour réaliser des bénéfices. Arrondir les quantités à 25kg près. Puis arrondir à des nombres entiers de pot de 25kg.

Le deuxième exercice je n'ai pas du tout réussi à le commencer. Je ne comprends pas comment C(x) =12x²+20x+6600

Merci d'avance pour l'aide que vous m'apporterais !
-----

[Duke Alchemist]

Bonjour.

P(x)=2(x-3)²-1/2

1) Développer et réduire p(x)
p(x) = 2(x-3)²-1/2
p(x) = (x²-6x+9)-1/2
p(x) = 2x²-12x +18-1/2
p(x) = 2x²-12x +17.5

OK mais préférera garder "35/2" : les fractions pour repérer des factorisations c'est mieux... mais ce n'est pas faux !

2)Déterminer la factorisation de p(x). Pour cela, mettre 2 en facteur et reconnaître un différence de deux carrés.
2(x²-6x)+17.5

On veut factoriser celle de départ :
p(x) = 2(x-3)²-1/2 = 2[...] Factorise par 2 comme le propose l'énoncé
Peux-tu compléter ce qu'il y a entre les crochets ?

3) En utilisant l'expression la plus adapté de p(x), répondre aux questions suivantes:
a\ montrer que la fonction P admet un minimum dont on précisera la valeur;

b\Déterminer l'équation de l'axe de symétrie de la parabole représentant P;

c\résoudre l'équation p(x)=4

N'as-tu pas une idée ou des propositions (en justifiant )

Duke.

[Paminode]

1) Développer et réduire p(x)
p(x) = 2(x-3)²-1/2
p(x) = (x²-6x+9)-1/2
p(x) = 2x²-12x +18-1/2
p(x) = 2x²-12x +17.5

Il manque un 2 à la 2ème ligne.

[invite8d778259]

Merci, pour votre aide.
2) 2[(x-3) -1/2] Non je sais pas ...
3)c) p(4) = 2(4-3)²-1/2
= 2(16-24+9)-1/2
=32-48+9 -1/2
=7.5

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d778259]

Ah oui ! merci p(x) = 2(x²-6x+9)-1/2

[Paminode]

2) 2[(x-3) -1/2] Non je sais pas ...

P(x) = 2(x-3)²-1/2
Il faut faire apparaître une différence de deux carrés.
L'énoncé dit comment faire : mettre 2 en facteur.
Si on met 2 en facteur dans 1/2, çà donne quoi ?

[Duke Alchemist]

Re-

2) 2[(x-3) -1/2] Non je sais pas ...

Pourquoi le ² a-t-il disparu ?
Et 2*.?. = 1/2 ?

3)c) p(4) = 2(4-3)²-1/2
= 2(16-24+9)-1/2
=32-48+9 -1/2
=7.5

* 4-3=1 et 1²=1.
* 2*9 ne fait pas 9
* au final, cela 3/2... mais soit ce n'est pas ce qu'il faut faire...

Sinon, résoudre p(x)=4 revient à déterminer x pour que 2(x-3)²-1/2 = 4. Ce n'est pas la même chose que de calculer p(4) !

Duke.

[invite8d778259]

2x1/4=1/2
Donc la factorisation c'est 2[(x-3)²-1/4] , ou j'ai encore dit n'importe quoi ??

et pour p(x)=4
2(x-3)²-1/2=4
2(x-3)²=4+2/1
x-3=3
x=3/-3
x=-1

[Paminode]

2x1/4=1/2
Donc la factorisation c'est 2[(x-3)²-1/4] , ou j'ai encore dit n'importe quoi ??

C'est bien cela. Mais ce n'est pas fini. Il faut faire apparaître les deux carrés, et appliquer l'identité bien connue.

et pour p(x)=4
2(x-3)²-1/2=4
2(x-3)²=4+2/1
x-3=3
x=3/-3
x=-1

Houlà ! Comment 1/2 se métamorphose en 2/1 ?
et où passe le carré ?

[Duke Alchemist]

Re-

2x1/4=1/2
Donc la factorisation c'est 2[(x-3)²-1/4] , ou j'ai encore dit n'importe quoi ??

C'est bien ça mais ce n'est que le début !
Ne vois-tu pas une expression du type 2(a²-b²) que tu peux factoriser (identité remarquable)

et pour p(x)=4
2(x-3)²-1/2=4
2(x-3)²=4+2/1
...
x=-1

Attention au passage du -1/2 à gauche, il devient +1/2 à gauche... (ce n 'est pas un produit !)
Et un truc très important : on vérifie que la solution trouvée est bonne !
2(-1-3)² - 1/2 = ... (Est-ce que cela fait 4 ?)

Je serais toi, j'essaierais de répondre à une question à la fois... afin d'éviter de t'embrouiller... car cela n'a pas l'air très clair pour toi tout ça

Duke.

EDIT : Grillé...

[invite8d778259]

Bonjour,
Oui pour la factorisation j'ai bien vu que c'est une identité remarquable, la troisième.
2(a²-b²)=2(a+b)(a-b)
donc je suppose que dans ce cas là , a= x-3 et b=-1/4
2[(x-3+1/4)(x-3-1/4)]

pour p(x) =4
2(x-3)²-1/2=4
2(x-3)²=4+1/2
(x-3)²=(4+1/2)/2
(x-3)²=2.25
Et la re-bloquage

[Duke Alchemist]

Bonjour.

... 2[(x-3+1/4)(x-3-1/4)]

Tu peux terminer...

pour p(x) =4
2(x-3)²-1/2=4
2(x-3)²=4+1/2
(x-3)²=(4+1/2)/2
(x-3)²=2.25

Comment obtiens-tu 2,25 ?

 Cliquez pour afficher

(4+1/2)/2 = (9/2)/2 = 9/4, non ?

Garde sous forme fractionnaire pour voir plus facilement que c'est un carré.
Repars donc de (x-3)²=9/4

 Cliquez pour afficher

x-3 = ±3/2
x=3±3/2

S={3/2 ; 9/2}

Duke.

[invite0406fccc]

duke pourrais par la suite apres avoir fini et aidé math L me venir à la rescousse !!! please

[invite0406fccc]

calcul :
(m-2)x^2 +(2m-2)x + (m+6)=0
ax^2 +bx +c= (m-2)x^2 +(2m-2)x + (m+6)
a=m-2 b=2m-2 c=m+6
calcul de delta : b^2 -4ac

(2m-2)^2 -4*(m-2)*(m+6)
=(2m-2)^2-(4m-8)*(m+6)
=((2m)^2 -2*2m*(-2)+(-2)^2) - (4m*m+4m*6-8*m-8*6)
=(4m^2 -8m +4 ) -(4m^2 +24m -8m -48 )
= =4m^2 -8m +4 -4m^2 -24m +8m +48
=-24m+52 est ce bon


Si = 0 alors il n'y a qu'une solution
= 0 -24m + 52 = 0 -24m = -52 m=24/52=6/13


our delta supereur a 0

-24m+52 sup 0
-24m sup -52
-24m/-24 sup -52/-24
m sup +52 /24
2 sol

pour delta inf a 0

-24m+52 inf 0
-24m inf -52
-24m/-24 inf -52/-24
m inf +52 /24
donc pa de sol cest bon?!!

[invite0406fccc]

dsl je me suis trompe de topic

[Paminode]

2x1/4=1/2
Donc la factorisation c'est 2[(x-3)²-1/4] , ou j'ai encore dit n'importe quoi ??

C'est ça.

Bonjour,
Oui pour la factorisation j'ai bien vu que c'est une identité remarquable, la troisième.
2(a²-b²)=2(a+b)(a-b)
donc je suppose que dans ce cas là , a= x-3 et b=-1/4
2[(x-3+1/4)(x-3-1/4)]

Non : 1/4 n'est pas le carré de 1/4

[Paminode]

Le deuxième énoncé :
Une entreprise fabrique 2 à 30 tonnes de peinture par jour. On estime que les coûts de fabrication de x tonnes de peinture, en euros, sont:
C(x)=12x²+20x+6600 , x ∈ [2;30]. (...)
Le deuxième exercice je n'ai pas du tout réussi à le commencer. Je ne comprends pas comment C(x) =12x²+20x+6600

C'est donné par l'énoncé. Il n'y a pas à chercher à le démontrer. Il faut juste l'admettre et l'utiliser.

[invite8d778259]

Merci Beaucoup Duke !
Ensuite comment je peux faire pour répondre à la question 3.a) montrer que la fonction P admet un minimum dont on précisera la valeur

[invite8d778259]

Et merci Paminode !
Comment ça "l'admettre" ? (second exercice)