equation du second degré

[bbdoll]

Bonjour,

j'arrive pas à trouver une solution pour cette équation :

-(ku')' = f sur (0,1)
u(0) = 0
k(1)u'(1) = g, g€R

k(x) = {alpha si x€(0,1/2), beta si x€(1/2,1)}

pour f=0 c'est bon j'ai trouvé une solution mais maintenant on doit déterminé une u et f pour f non nul.
je vois même pas par où commencer

Merci d'avance
-----

[bbdoll]

Y a vraiment personne pour m'aider?????????????

[Jeanpaul]

C'est quoi, f ? une constante, une fonction ? Et g ?
Ca irait mieux si la question était plus clairement posée. Et pourquoi du second degré ?

[bbdoll]

Et bien g c'est un reelle (g€R) et f une fonction non nulle oui ca peut etre une constante. bah le problème c'est que je dois déterminer u et f.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Tu prends u n'importe quoi, par exemple A sin(x) et f la dérivée seconde. Tu fais A.béta=g et c'est bon.

[bbdoll]

D'accord,
je me suis permise de prendre plutot f constante (en fait c'est un probleme que je code ensuite en C++ pour un prob de differences finies).
Docn j'ai pris f=m€R.
Donc sur (0,1/2) j'ai l'equation qui devient alpha*u''=m donc u'=(m/alpha) et u=(m/alpha)x
Et sur (1/2,1) j'ai l'equation beta*u''=m donc u'=(m/beta) et dans ce cas je prend f=g et u=(m/beta)x +k , k€R
u(1/2)- = u(1/2)+ donc k = (m/2*alpha)-(m/2*beta)
donc u =(m/alpha) sur (0,1/2)
et u =(m/beta) +(m/2)*(1/alpha - 1/beta)

est-ce que c'est bon?

[bbdoll]

Sinon voilà j'ai aussi fait les calculs pour u=(g/beta)*cos(x) mais ca ne va pas parce que en fait f doit etre continue sur (0,1).
or sur (0,1/2) f = -(alpha/beta)*g*cos(x)
et sur (1/2,1) f = -g*cos(x)
ce qui n'est pas continu.
voili voilou, vraiment besoin d'une réponse pour f=constante non nulle.
Est-ce que ca convient?

[bbdoll]

Bon je vais reprendre mon message parce que là j'ai fait des erreurs de recopies donc voila la modification

D'accord,
je me suis permise de prendre plutot f constante (en fait c'est un probleme que je code ensuite en C++ pour un prob de differences finies).
Docn j'ai pris f=m€R.
Donc sur (0,1/2) j'ai l'equation qui devient alpha*u''=m donc u'=(m/alpha)x et u=(m/alpha)x²
Et sur (1/2,1) j'ai l'equation beta*u''=m donc u'=(m/beta) et dans ce cas je prend f=g et u=(m/beta)x +k , k€R
u(1/2)- = u(1/2)+ donc k = (m/2*alpha)-(m/2*beta)
donc u =(m/alpha)x² sur (0,1/2)
et u =(m/beta) x²+(m/2)*(1/alpha - 1/beta)

est-ce que c'est bon?

[bbdoll]

Re c'est encore moi je me suis rendu compte que mes calculs etaient pas propres et qu'il y avait beaucoup d'erreurs donc j'ai tout repris proprement et je veux juste que vous me disiez si c'est bon ou pas :

sur (0,1/2) alpha*u" = m
u" = m/alpha
u' = (m/alpha)x + t, t€R constante
u = (m/2*alpha)x² + tx +p, p€R constante
u(o) = 0 =>p=0
donc on a sur (0,1/2) u = (m/2*alpha)x² +tx, je prend arbitrairement t = 0
donc on a sur (0,1/2) u =(m/2*alpha)x²

sur (1/2,1) beta*u" = m
u" = m/beta
u' = (m/beta)x +s, s€R constante
beta*u(1) = g ==> s = (g - m)/beta
==> u' = (m/beta)x + (g - m)/beta
donc sur (1/2,1) u = (m/2*beta)x² + (g-m)x/beta +r,

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
condition de continuite
u(1/2)- = u(1/2)+ ==> (m/8*alpha) = (m/8*beta) + (g-m)/(2*beta) + r
==> r = (m/8*alpha) - (m/8*beta) + (g-m)/(2*beta)

donc sur (1,1/2) u = (m/2*beta)x² + (g-m)x/beta + (m/8*alpha) - (m/8*beta) + (g-m)/(2*beta)

//////////////////////////////////////////////////////////////////////
on reverifie beta*u' =g u' = (m/beta)x + (g-m)/beta
beta*u' = m*x + (g-m) et en 1 on a bien beta*u'(1) = g

[Jeanpaul]

Je crois que tu n'as pas le droit de poser t=0.
En effet, au départ, tu as 4 constantes d'intégration (les coefficients devant x et les 2 constantes).
Mais tu dois vérifier 4 conditions :
u(0)
u'(1)
continuité de u en 1/2
continuité de u' en 1/2
Tu as besoin de tes 4 constantes, pas de place pour l'arbitraire.
Revois ça, mais tu y es presque.

[bbdoll]

merci beaucoup pour otn aide, en effet mon erreur venait de là. C'est vrai que c'est bete on fixe jamais les constante d'integration arbitrairement mais en fonction des conditions initiales. Sauf que j'avai spas vu la condition u' continue en 1/2.
Merci beaucoup pour otn aide même si ma réponse est un peu tardive.
C'est parce que j'étais passé à un autre probleme.
Je vai souvrir un nouveau topic d'ailleurs est-ce que tu pourrais m'y aider aussi?

Cordialement