demande d'aide pour un exercice sur les suites ( TES)

[invite0e38f2cc]

Bonjour, j'ai un DNS de mathématiques à faire, j'ai déjà bien avancé mais je reste bloquer sur quelques questions. Pourriez vous m'aider s'il vous plaît?

On considère la suis (Un) définie par U0=1 et U1=2 et pour tout entier naturek n>= 1 par :
U(n+1)=(3/2)Un-(1/2)(Un-1)
1a) Calculez les 10 premiers termes de cette suite.
Je l'ai fait: alors U2=5/2 U3=11/4 U4=23/8 U5=47/16 U6=95/32 U7=191/64 U8= 383/128 U9= 767/256b) faîtes afficher sur l'écran de votre calculatrice les points correspondants.
C) Quelle semble être la limite de Un
La limite de Un semble être 3, en vu des points sur le graphique2) On se propose de trouver la limite de (Un) par le calcul. On définit la suite (Vn) par:
Vn= U(n+1)-Un pour tout entier naturel n
a) Montrez que la suite (Vn) est géométrique et calculez Vn en fonction de n
J'ai trouvé aussi. J'ai calculé Vn+1/Vn et j'ai trouvé 1/2 donc Vn est une suite géométrique de raison 1/2C'est à partir des questions suivantes que je bloque.
b) Démontrez que pour tout naturel n> 1:
Un= Uo +(V0+V1+....+Vn-1)
c) déduisez en l'expression de Un en fonction de n
d) Montrez que la suite converge et calculez sa limite ( cela je pense y arriver une fois les questions 2c et 2b faîtes.
3) déterminez le plus petit entier n0, tel que si n>= 0, alors (Un-3)<= 10^-5

Merci beaucoup
-----

[pallas]

pour le b)
ecris un en dessous de l'autre
v(0)=u(1)-u(0)
v(1)=u(2)-u(1)
....................
v(n-1)=u(n)-u(n-1)
et en faisant la somme que constates tu?
ensuit utilses l'expression de la somme des termes d'une suite géométrique(voir cours)

[invite0e38f2cc]

expression de la somme des termes d'une suite géométrique = 1er terme x (1-q^nombre de terme)/1-q
Vo= 1 ( car Vo=U1-U0 donc 2-1 = 1 ) et la raison = 1/2
donc somme = (1-(1/2)^n-1)/(1-(1/2)) ?

[invite51d17075]

presque :
il y a n termes et pas n-1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0e38f2cc]

somme = (1-(1/2)^n)/(1-(1/2))
et comment je dois faire pour démontrez que pour tout naturel n> 1:
Un= Uo +(V0+V1+....+Vn-1)
?

[invite51d17075]

somme = (1-(1/2)^n)/(1-(1/2))
et comment je dois faire pour démontrez que pour tout naturel n> 1:
Un= Uo +(V0+V1+....+Vn-1)
?

pallas t'a donné la solution.
v(0)=u(1)-u(0)
v(1)=u(2)-u(1)
....................
v(n-1)=u(n)-u(n-1)
donc
somme(0;n-1)Vn= somme(1;n)Un - somme(0;n-1)U(n-1)
dans le terme de droite la quasi totalité des termes (sauf 2 )disparaissent car une fois en positif et l'autre en négatif
il ne reste que Un - U0
donc Un=U0+somme(Vn)

[invite0e38f2cc]

Pouvez vous, s'il vous plait, réexpliquer cela:
"somme(0;n-1)Vn= somme(1;n)Un - somme(0;n-1)U(n-1)
dans le terme de droite la quasi totalité des termes (sauf 2 )disparaissent car une fois en positif et l'autre en négatif
il ne reste que Un - U0
donc Un=U0+somme(Vn) "

Je ne comprend pas bien avec la somme.
somme de Vn = ( V0+v1+...+Vn-1) ?

[invite51d17075]

Pouvez vous, s'il vous plait, réexpliquer cela:
"somme(0;n-1)Vn= somme(1;n)Un - somme(0;n-1)U(n-1)

il ne reste que Un - U0 donc Un=U0+somme(Vn) "
Je ne comprend pas bien avec la somme.

désolé pour mon affreuse formulation
je devrais ecrire
somme( Vk; k de 0 à n-1) = somme (Uk; k de 1 à n) - somme(Uk; k de 0 à n)

et à la fin
Un=U0+somme(Vk; k de 0 à n-1 )

[invite0e38f2cc]

Je suis désolé mais je ne comprend pas.. :s Est ce que il y aurait une autre méthode pour le faire?

[invite51d17075]

non mais c'est pourtant simple:
par exemple:
v(0)=u(1)-u(0)
v(1)=u(2)-u(1)
v(2)=u(3)-u(2)
v(3)=u(4)-u(3)

donc v(0)+v(1)+v(2)+v(3)=u(1)-u(0)+u(2)-u(1)+u(3)-u(2)+u(4)-u(3)
on vois bien que les u(1),u(2) et u(3) disparaissent et il reste.
v(0)+v(1)+v(2)+v(3)= u(4)-u(0)

donc je l'ai fait pour n=4 mais ça fonctionne de la même manière qcq soit n.
par exemple je rajoute v(4) des deux cotés. ( avc v(4)=u(5)-u(4) )
v(0)+v(1)+v(2)+v(3)+v(4)=u(5)-u(4)+u(4)-u(0)
=u(5)-u(0)
donc ça marche aussi pour 5, etc ...

[invite0e38f2cc]

J'ai compris cela, surtout avec vos exemples. Ce que je ne comprend pas c'est le rapport avec Un=U0+(v1+v2+...+vn-1) :$

[invite51d17075]

J'ai compris cela, surtout avec vos exemples. Ce que je ne comprend pas c'est le rapport avec Un=U0+(v1+v2+...+vn-1) :$

là j suis perdu
si (v1+v2+...+vn-1)=Un-U0 puisqu'on a vu que ça marchait pour tout n
alors
Un=U0+(v1+v2+...+vn-1)

[invite0e38f2cc]

Merci! J'ai compris pour la question 2b.

Pour la 2c: Un= U0+ (1-(1/2)^n)/(1-(1/2))?

[invite51d17075]

oui, c'est ça.
j'ai pas compris pouquoi tu bloquais sur la précedente

[invite0e38f2cc]

J'aurais une autre question, Vn+1/Vn est-il bien égal à 1/2?
Vn+1/Vn = (Un+2-Un+1)/(Un+1-Un) = (3/2Un+1-1/2Un-Un+1)/(Un+1-Un) = (1/2Un+1-1/2Un)/(Un+1-Un) = (1/2(Un+1-Un))/(Un+1-Un) = 1/2 ?

[invite0e38f2cc]

C'est vraie que je ne vois pas pourquoi je bloquais sur la question précédente, peut être à cause du fait que je ne connaisait pas le nombre de terme dans la somme, ou je me suis surement embrouiller entre tous ces calculs.

[invite51d17075]

oui c'est bon même si il y a plus simple dans la présentation
v(n+1)=u(n+2)-u(n+1)
= (3/2)u(n+1)-(1/2)u(n) -u(n+1)
= (1/2)u(n+1)-(1/2)u(n)
= (1/2)v(n)

[invite0e38f2cc]

ha oui il est vrai que je peux faire comme cela aussi. Avez vous encore du temps à me consacrer pour les questions suivantes?

[invite0e38f2cc]

dans la conjecture du début de l'excercice, je dit que il semble que la suite tend vers 3. Puis dans la suite de l'exercie je doit démontrer que la suite est convergente, c'est à dire qu'elle tend vers un nombre défini, puis je dois calculer sa limite, je devrait trouver trois. Cependant, je ne trouve pas 3 et nous n'avons pas appris en cours comment démontrer qu'une suite est convergente

[invite51d17075]

Cependant, je ne trouve pas 3 et nous n'avons pas appris en cours comment démontrer qu'une suite est convergente

une conjecture n'est pas une preuve , c'est une supposition.
mais maintenant que tu as
Un=U0+(1-(1/2)^n)/(1/2)
il te faut simplifier cette écriture.
commence par multiplier par 2 le numérateur et dénominateur de la 2ème partie sous la parenthèse.
et simplifie encore !

[invite0e38f2cc]

Un= U0 + (2-2(1/2)^n)/1
Un= Uo+2-(2(1/2)^n)
?

[invite0e38f2cc]

dns.jpgdns2004.jpg
J'ai une amie qui à fait sa, mais je ne pense pas qu'elle est eu le bon raisonnement pour la 2b, elle démontre que Un est minorée par 1 et non que Un= U0+(v0+v1+v2+...+vn-1) de plus elle dit dans osn raisonnement par récurence que Up-1= 1 ce qui est faux je crois.

[invite51d17075]

Un= U0 + (2-2(1/2)^n)/1
Un= Uo+2-(2(1/2)^n)
?

oublie ton amie.
Un=U0+2-2*(1/2)^n mais on sait que U0=1 donc
Un=3-2*(1/2)^n
( on se rapproche de 3 non ? )
maintenant 2 peut s'écrire (1/2)^(-1)
donc 2*(1/2)^n=(1/2)^-1 * (1/2)^n
d'ou
Un=3-(1/2)^(n-1)
sans avoir appris à "démontrer" une convergence ,
tu dois savoir vers quoi tend (1/2)^n ( ou n-1 c'est pareil) quand n devient très grand.

[invite0e38f2cc]

J'avais trouvé pareil, mais cela me sembler bizare, merci pour cela.
lim 3 lorsque n tend vers l'infini = 3
lim -1/2^n-1 lorsque n tend vers l'infini = 0
donc limite de Un lorsque n tend vers l'infini= 3

3: déterminez le plus petit entier n0, tel que si n>=n0 alors Un - 3 <= 10^-5
Un<=10^-5 +3
Un<= 3.00001
?

[invite51d17075]

3: déterminez le plus petit entier n0, tel que si n>=n0 alors Un - 3 <= 10^-5
Un<=10^-5 +3
Un<= 3.00001?

non mais en fait il y a une erreur dans l'énoncé
ce n'est pas Un-3<=10^-5
car Un est tj inf à 3 donc Un-3 tj négatif

ce doit être 3-Un<=10^-5
soit (1/2)^(n-1)<=10^-5 (1)

car on a bien vu que les (1/2)^m finissent tout petits petits ( lmite = 0 quand m = l'inf )
ici on cherche le premier m tel que (1) soit valable.
en inversant tu sais que a<=b <=> 1/a>=1/b

1/(1/2)^(n-1)>=10^5 = 100000
soit
2^(n-1)>=100000
je vais pas te faire soufrir avec des log, tu dois t'en sortir avec une calculette
genre
2^4=16
2^8=16*16
2^12=16*16*16
etc
a la fin je trouve que l'exposant de 2 doit être 17 minimum
donc n>=18 ( on avait 2^(n-1))

ici cela devient

[invite0e38f2cc]

Pardon de répondre si tard. J'ai lu votre raisonnement sur cette question. Le prof à bien marqué : [(Un)-3]<= 10^-5 sur la fiche.
Et même si il s'est trompé, je ne comprend pas ce que vous faîtes.
(Un)-3 est toujour négatif car la limite de Un est 0, cela j'ai compris. J'ai aussi compris qu'en inversant le signe change.
D'où vient le 100000 que vous avez trouvez?

[invite51d17075]

il a ecrit [Un-3]<=10^-5
peut être etait-ce valeur absolue de (Un-3)
tu as montré toi mème que Un=3 -(1/2)^n-1 donc Un est tj inf à 3 ( car (1/2)^n-1 est tj positf )
donc si c'était (Un-3), il faudrait trouver un n minimal pour lequel Un-3 <0 <= 10^-5
ce qui est déjà vrai quelque soit n.

supposons que ce soit 3-Un ou !Un-3!=3-Un
on cherche n minimal tel que
(1/2)^n-1<=10^-5 et j'inverse
(1/2)^1-n >= 10^5
le prmier membre s'ecrit aussi
(2^(-1))^(1-n) et comme (2^a)^b=2^ab
on a
2^(n-1)>=10^5
or 10^5=100000 (10*10*10*10*10)
donc on cherche n tel que
2^(n-1)>=100000

allons y manuellement
2^4=16
2^8=2^4 * 2^4 = 16*16=256 ( c'est tj trop petit par rapport à 100000 )
2^16= 2^8 * 2^8=256*256=65536 ( tj pas assez mais pas loin)
2^17=2*2^16=131072 qui est supérieur à 100000
donc l'exposant minimum est 17
mais comme on avait dans l'équation 2^(n-1)
il faut que n-1 soit >= 17, donc n >=18

ce qui veut dire intuitivement( en remontant à la première équation) que
3-u(18)<= 10^-5 soit
3-u(18)<= 0,00001 et que Un continura de se raprocher de 3 si n augmente

[invite0e38f2cc]

Je viens de regarder sur internet, et en effet il s'agit de valeur obsolue de [(Un)-3] car c'est entouré de deux traits.
Le raissonement est-il dans ce cas toujours juste?
(Nous n'avons pas vu la valeur absolue en cours..)