Limite en +∞ d'une F.I

[ZesteDeSoleil]

Bonjour

J'ai un DM de mathématiques dans lequel il faut faire la limite en +∞ de la fonction g(x)= (racine)(4x^2 - 3x - 1) - x
On obtient donc une F.I de la forme "+∞ -∞".
J'ai multiplié le dénominateur et le numérateur par la forme conjuguée : On obtient (3x^2 - 3x - 1) / ((racine)(4x^2 - 3x - 1) + x), ce qui est de nouveau une F.I de la forme +∞/+∞

J'ai ensuite essayé à partir de la fonction obtenue de mettre ses termes de plus haut degré en facteur, mais on obtient une succession de F.I et je ne pense pas être sur la bonne voie... J'ai essayé également la "Règle de l'hôpital" qui consiste à faire la dérivée du numérateur et du dénominateur séparément jusqu'à ce que la limite ne soit plus une F.I, mais j'obtiens 0 ce qui n'est pas correct graphiquement...

Bref j'aurais bien besoin de votre aide ^^
Merci beaucoup !
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[invite427a7819]

Salut !

La mise en facteur de termes de plus haut degré est effectivement la marche à suivre. Sous la racine, tu auras un x^2 en facteur... Que tu pourras donc sortir de ta racine (à condition qu'il soit positif). Il ne reste plus qu'à factoriser par x pour lever la forme indéterminée.

[ZesteDeSoleil]

Bonjour

Alors alors, j'obtiens :

3x * (1 - 3x/x^2 - 1/x^2)/((racine)(4 - 3x/x^2 - 1/x^2) + x)

Mais je ne vois vraiment pas comment factoriser comme il y a des moins entre chacun des trois termes qui se succèdent. J'ai peut-être mal compris ?

Merci beaucoup.

[invite427a7819]

Salut,

A première vue, tu as oublié le x au dénomintaeur dans ta factorisation... et les a l'intérieur de ta racine et au numérateur se simplifient (du moins pour x non nul, mais comme tu le fais tendre vers l'infini, tu peux bien le prendre strictement positif).

Une fois que tu en es là... La somme, au numérateur, va tendre vers 1, donc le preoduit tendra vers . Au dénominateur, même combat, ça va tendre vers un réel... Et tu n'as plus qu'à conclure =)

(Remarque, tu pouvais faire ça avant de multiplier et diviser par la quantité conjuguée)

[A voir en vidéo sur Futura]

[ZesteDeSoleil]

Super, j'ai réussi ! Je te remercie énormément !