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Démonter que 3 droites sont concourantes



  1. #1
    winxii22

    Question Démonter que 3 droites sont concourantes

    Bonjour, voilà je suis en seconde et j'ai cette exercice à rentre mais je ne vois vraiment pas comment faire, quelqu'un pourrait-il me mettre sur la voie ?

    Soit aBC un triangle et m, un point quelconque
    Soit A', B' et C' les milieux des segments [BC], [AC] et [AB].
    On note I, J et K les symétriques de M respectivement pas rapport à A', B' et C'
    Montrer que les droites (AI), (BJ) et (CK) sont concourantes.

    Merci d'avance à ceux qui m'aideront !!!

    -----


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  3. #2
    croux

    Re : Démonter que 3 droites sont concourantes

    Bonjour,

    Essaie de démontrer (à l'aide des vecteurs, ou à l'aide des théorèmes des milieux : AB = B'A'/2 = JI) que ABIJ est un parallélogramme, dont les diagonales ...

    Puis recommence avec un autre parallélogramme.

  4. #3
    croux

    Re : Démonter que 3 droites sont concourantes

    Petite coquille, c'est *2 et pas /2 : AB = B'A'*2 = JI

  5. #4
    zyket

    Re : Démonter que 3 droites sont concourantes

    Bonjour,

    personnellement je ne trouve pas que ABIJ soit un parallèlogramme. C'est juste un trapèze avec (AB)//(IJ)

    Cordialement.

  6. #5
    zyket

    Re : Démonter que 3 droites sont concourantes

    Rebonjour,

    voici en pièce jointe la construction
    Images attachées Images attachées

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    croux

    Re : Démonter que 3 droites sont concourantes

    Citation Envoyé par zyket Voir le message
    personnellement je ne trouve pas que ABIJ soit un parallèlogramme. C'est juste un trapèze avec (AB)//(IJ)
    C'est bien un parallélogramme : [AB] // [IJ] et ils ont aussi la même longueur
    Pour preuve :
    * Le théorème des milieux dans MIJ nous dit que IJ = 2.A'B'
    * Le théorème des milieux dans ABC nous dit que AB = 2.A'B'
    ...

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  10. #7
    zyket

    Re : Démonter que 3 droites sont concourantes

    Bonjour,

    @ croux

    De quelle manière le théorème des milieux nous dit-il que IJ=2.A'B' ?

    On a plutôt IJ=A'B' et (IJ)//(A'B')
    En effet M est le milieu de [A'I], puisque I est le symétrique de A' par rapport à M.
    De même M est le milieu de [B'J], puisque J est le symétrique de B' par rapport à M.
    Donc les segments [A'I] et [B'J] se coupent en leur milieu M, par conséquent le quadrilatère A'B'IJ est un parallélogramme, d'où on a bien IJ=A'B' et (IJ)//(A'B').

    Si je ne me trompe pas.

    Cordialement

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