3 droites concourantes en coordonnées barycentriques.

[invitee75a2d43]

Bonjour, j´ai la question suivante. Je connais le théorème selon lequel, si 3 droites d´un plan affine dont les équations en coordonnées barycentricques sont:

a_i.x + b_i.y + c_iz = 0 (i = 1 ou 2 ou 3)

sont parallèles ou concourantes ssi le déterminant suivant est nul:



Mais dans le cas où elles sont concourantes, j´aimerais trouver le point d´intersection. Évidement je pourrais calculer le point d´intersection des deux premières et voir ensuite qu´il appartient à la troisième, mais quand les paramètres des droites sont un peu compliqués, ça alourdi les calculs très rapidement. Je me demande donc s´il n´y a pas une méthode plus élégante et surtout plus rapide, peut-être en utilisant la matrice ci-dessous, pour calculer ce point d´intersection.

merci d´avance pour vos suggestions.

christophe
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Il te faut effectivement déterminer le point d'intersection à partir de deux des droites, qu'il faut choisir distinctes...
Le fait que la troisième droite passe par ce point ne fournit pas de renseignement supplémentaire permettant de simplifier le calcul.

Par contre, on peut interpréter l'équation dans muni de sa structure euclidienne usuelle par l'orthogonalité de et .

Résoudre le système revient à chercher orthogonal à et à , et une solution est fournie par le produit vectoriel de ces deux vecteurs.
Les coordonnées barycentriques du point d'intersection des deux droites sont donc : .

[invitee75a2d43]

Ah, merci God´s Breath, comme disait Christophe Colomb, "il suffisait d´y penser"