Théorème de Cézaro

[patagouin]

Bonjour,


Voici l'énoncé et les questions de cet exercice relatif au théorème de Cézaro dont je bloque dès la première questionn:


Soit (Vn) une suite réelle convergente, on pose lim Vn=l (n->inf) . Pour n>=1 , on définit
c1=v1 c2= (v1+v2)/2, cn=1/n Somme de n, k=1, vk= (v1+v2+v3+..vn)/n.

Soit w>0 fixé
1. Justifer l'existence de N1 € N* tel que pour n'importe quel k>=N1,
|vk-l|=<w/2.
Désormais on notera S=Somme de N1, k=1,(vk-l)= (v1+...+vN1)-N1l

2.Montrer que pour n'importe quel n>=N1
|cn-l| =< |S|/n + w/2.
(on pourra remarquer que l=nl/n).

3. Justifier l'existence de N2 € N* tel que pour tout n>=N2,
|S|/n=<w/2
4. En déduire l'existence de N € N* tel que pour tout n>=N,
|cn-l|=<w.
5. La suite (cn) n>=1 est-elle convergente?

Je vous remercie par avance.
Patagouin
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[zyket]

Bonsoir,


n'y aurait-il pas une petite erreur dans l'énoncé ?

Soit (Vn) une suite réelle convergente, on pose lim Vn=l (n->inf) . Pour n>=1 , on définit
c1=v1 c2= (v1+v2)/2, cn=1/n Somme de n, k=1, vk= (v1+v2+v3+..vn)/n.

le /n ne serait-il pas de trop, puisque on a déjà : cn=1/n Somme ....

qui doit s'écrire comme suit ?

[patagouin]

oui j'ai fait une faute dans l'énoncé.
Désolé pour mon écriture vraiment non mathématiques

[zyket]

Si tu es appelé à revenir souvent ici, je viens de découvrir ce tuto sur futura pour écrire de belles formules mathématiques http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html

Sinon la suite est trop compliquée pour moi, désolé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[zyket]

Sinon j'ai trouvé ça sur le théorème de Césaro http://gilles.costantini.pagesperso-...ers/cesaro.pdf

[patagouin]

merci, je vais voir ça de plus près!

[invite6cf1de63]

Bonsoir,
cet exercice n'est que la démonstration du Lemme de Cesàro (source : Wikipedia)