Exponentielle

[invite8ab5fa54]

Bonjour,

Comment prouver que x = -e^2x n'a qu'une solution sur lR. Je bloque !
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[invite80e0db49]

Tu te base sur l'ensemble de définition de ta fonction. A savoir qu'elle est strictement croissante et que, de par sa limite elle va de 0 à +l'infini. Étant donné tu as forcément une solution (x) dans cette intervalle, une et une unique.

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

De manière équivalente, tu peux étudier la fonction f(x)=e^2x+x sur lR et tu vois "quand" elle s'annule...

Duke.

[invite8ab5fa54]

Merci de vos réponses

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite936c567e]

Bonsoir

Tu te base sur l'ensemble de définition de ta fonction. A savoir qu'elle est strictement croissante et que, de par sa limite elle va de 0 à +l'infini. Étant donné tu as forcément une solution (x) dans cette intervalle, une et une unique.

Il faut aussi préciser que la fonction est continue, sinon il pourrait ne pas y avoir de solution.

[invite80e0db49]

Hihi je l'avais oublié cette continuité. Désolé

[invitebc0b0c0f]

Sinon, tu peux utiliser le théorème de la bijection ! Très efficace dans ce genre d'exo

x=-exp(2x)
f(x)=-exp(2x)-x

On va étudier ces variations :
f'(x)=-2exp(2x)-1

et exp(2x)>0
-2exp(2x)<0
-2exp(2x)-1<-1<0

Donc, sur l'intervalle ]-oo;+oo[
f'(x) est négative et f(x) est décroissante !

Il faut maintenant étudier les limites aux bornes du domaine de def (]-oo;+oo[de la fonction

lim (x->-oo) -exp(2x)-x= +oo
lim (x->+oo) -exp(2x)-x = -oo

Or f(x) est continu est dérivable et continu sur IR car f(x) est une somme de fonction dérivable et continu sur IR.
f(x) réalise donc une bijection de l'intervalle ]-oo;+oo[ (ensemble de départ)sur l'intervalle ]+oo;-oo[ (ensemble d'arrivé). Or 0 appartient à l'intervalle ]+oo;-oo[ (ensemble d'arrivée),
donc f(x)=0 admet une unique solution alpha sur ]-oo;+oo[ (esemble de départ). Avec la calculatrice, alpha environ égale à -0.42

Bialn : S={-0.42}