Problème exercice complexes et géométrie

[invite7378164e]

Bonsoir tout le monde,
Je bloque sur un exercice qui est tombé au bac cette année, et plutôt que de regarder la correction j'aimerais bien qu'on m'explique, si quelqu'un est dispo. Voilà l'énoncé, j'ai fait la 1 mais je ne sais pas comment m'y prendre pour la 2)
J'ai procédé de la manière suivante*: si f n'a aucun point invariant alors z = z' n'a aucune solution
on pose z= x +iy (x;y) appartiennent R²
z' = (z – i)/(zbar + i) or z = z'
donc z (zbar + i) = z – i
(x+iy )(x - iy + i) = x+iy – i
x² - ixy +ix +ixy +y² – y = x + iy – i
(x² + y² – y – x) + i(x – y + 1) = 0

Je ne suis pas convaincu du résultat, de plus j'ai l'impression que ma rédaction n'est pas assez rigoureuse...

Merci de vos réponses


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[pallas]

c'est bon mais de la seconde tu tires x=y-1 que tu remplaces dans la premiere et la tu obtiiens qu'une somme de carres de réels est negatif donc ...

[invite7378164e]

Bonsoir,
vous voulez dire qu'il faut que j'identifie partie réelle et imaginaire de telle sorte qu'elles soient nulles ?
Im(z) = x – y + 1 = 0
donc x = y - 1

Mais pour la partie réelle j'obtiens ensuite :
(y-1)² + y² – y - (y - 1) = 0
y² -2y +1 +y² - 2y +1 = 0
2y² -4y = -2
y² = -1 + 2y ??
Je crois ne pas pouvoir conclure de cette manière ... :/

[zyket]

Bonjour,

Si si continue, déplace tous tes termes du même côté de l'égalité pour avoir une équation du type ay²+by+c=0. Ne fonce pas tête baissée dans la résolution d'une équation du second degré, observe bien ce polynôme du second degré, il y a une toute petite astuce. Et tu conclues quant à savoir si ce polynôme peut être égal à 0 et si oui pour quelles valeurs de y.
Si tu ne vois pas l'astuce, ce n'est pas grave, tu te lances dans la résolution de cette équation du second degré.

Bonne continuation

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7378164e]

Ah oui je vois ce que vous voulez dire, j'ai réussi en concluant que le point invariant est de coordonnées (0 ; 1) qui, transposé en coordonnées complexe donne (i) donc la transformation n'a pas lieue.
Pouvez vous me guider pour la question 3b) ?

Je suis arrivée à démontrer que OM'=1 : on pose z = x+iy (x;y) réels et B'(-i) après calcul
OM' = |zm' - z0| = |z'| = |(z - i)/(zbar + i)| = |(x+iy - i)| / |(x-iy + i)| = √(x² + (y-1)²) / √(x² + (-y+1)²) = √(x² +y²-2y+1) / √(x²+y²-2y+1) = 1
On a donc |(z - i)| / |(zbar + i)| = 1
=> |zM-zA| / |zMbar - zB'| = 1

Mais le |zMbar - zB| me gène... Peut-on dire que AM = B'(Mbar) ??

[zyket]

Je n'ai fait aucun calcul, mais je lis l'énoncé : Démontrer que l'application f n'admet pas de point invariant.. Il me semble donc curieux que tu puisses en trouver un.

[invite7378164e]

J'en trouve un mais puisqu'il est de coordonnée (i) et que justement pour tout pt M d'affixe distinct de i l'application f associe le point M'.
Le point invariant est bien là mais il n'existe pas pour cette transformation... C'est pas ça ?

[zyket]

J'ai fait les calculs tu as tout à fait raison

[zyket]

Pour la question b), je n'ai pas tout suivi ta démonstration et ne comprend pas bien où tu arrives. Mais il y a plus simple. En se servant du résultat de la question 3)a) (dans un devoir il faut toujours se servir des questions précédentes) on peut écrire z' d'une autre façon.

A côté il faut toujours garder à l'esprit les liens, les équivalences je ne sais pas trop dire, entre les nombres complexes et les vecteurs images qui leur correspondent.

Par exemple ici quel est le vecteur image de z' ? Par quoi est représenté dans les nombres complexes la distance OM' ?