Complexes (géométrie)

[invitee1e1c686]

Je voulais savoir c'était quoi les méthodes pour démontrer que des points sont sur un même cercle en complexes ?

merci
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[invite4a3f824f]

Je vais traiter le cas simple où le cercle est centré en 0 parce que sinon on se perd facilement dans les notations. Tu peux te ramener dans ce cas par une translation de repère au pire. On considère donc 2 points A et B dans le plan complexe z_a=x_a + i*y_a et z_b=x_b + i*y_b. Si ces 2 points sont sur le même cercle alors, leur distance au centre est la même. Ensuite tu utilise pythagore pour calculer cette distance au centre :
Pour A : r_a² = x_a² + y_a²
Pour B : r_b² = x_b² + y_b²
Pour que A et B soient sur le même cercle, on doit donc avoir r_a = r_b ou (ca revient au même car r>0) r_a² = r_b ² . Tu vérifie donc si tes points vérifient l'équation x_a² + y_a² = x_b² + y_b² et le tour est joué.

Ensuite si tu as plusieurs points tu a juste a vérifié qu'il vérifient tous l'égalité entre eux.

[invite88b64a1c]

Sinon tu peux utiliser la condition de cocyclicité :
pour 4 points deux à deux distincts , , , d'affixes respectives , , ,
les 4 points sont sur un même cercle si et seulement si :



est réel. Voilà

[invite57a1e779]

Sinon tu peux utiliser la condition de cocyclicité :
pour 4 points deux à deux distincts , , , d'affixes respectives , , ,
les 4 points sont sur un même cercle si et seulement si :



est réel. Voilà

Heu ??!!
Quatre points , , , , d'affixes respectives , , , , deux à deux distincts, qui satisfont



peuvent être alignés...

D'accord une droite est (presque) un cercle de rayon infini...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88b64a1c]

Heu ??!!
Quatre points , , , , d'affixes respectives , , , , deux à deux distincts, qui satisfont



peuvent être alignés...

D'accord une droite est (presque) un cercle de rayon infini...

Effectivement je me rapelle que dans le cours de Billy, c'était pour montrer que les points sont cocycliques ou alignés

[invitea2682cb1]

Je voulais savoir c'était quoi les méthodes pour démontrer que des points sont sur un même cercle en complexes ?

merci

Pour montrer que des point sont sur un même cercle , il suffit de montrer qu'il sont a equidistance du centre.
Par exemple si tu veux montrer que a,b,c sont sur un même cercle de centre 0 tu montre que oa=ob=oc et on en revient au complexe
ta la relation oa=ob=oc , ben tu le montre en calculant le module de oa, ob , oc et si il est égale c'est que ils sont sur un même cercle