Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde
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Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde



  1. #1
    invite9e0875b2

    Question Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde


    ------

    Bonjour,

    Je cherche à exprimer les critères de divisibilité de manière la plus générale possible, d'abord en base 10 puis pour n'importe-quelle base.

    Je suis parti de l'idée de développer l'expression du nombre entier E dont on veut vérifier la divisibilité par le nombre entier M dans la base 10, en remplaçant à chaque fois 10 par la somme (M+N) de façon à pouvoir balancer M du côté de MP et ainsi factoriser, simplifier, etc., soit :



    mais après toute une journée passée dessus je cale car je ne fais que soit tourner en rond, soit d'aboutir dans des impasses.

    Il me semble aussi que cela doit à voir avec l’arithmétique modulaire mais je n'arrive pas à l'utiliser ici. Si quelqu'un peu me donner des pistes ? Ou me proposer une autre stratégie ?

    Remarque : je suis moins intéressé par les démonstrations elles-mêmes, que par le raisonnement stratégique et euristique qui va conduire à la dite démonstration ...

    -----

  2. #2
    invite4492c379

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par Khwartz Voir le message
    Bonjour,

    Je cherche à exprimer les critères de divisibilité de manière la plus générale possible, d'abord en base 10 puis pour n'importe-quelle base.

    Je suis parti de l'idée de développer l'expression du nombre entier E dont on veut vérifier la divisibilité par le nombre entier M dans la base 10, en remplaçant à chaque fois 10 par la somme (M+N) de façon à pouvoir balancer M du côté de MP et ainsi factoriser, simplifier, etc., soit :



    mais après toute une journée passée dessus je cale car je ne fais que soit tourner en rond, soit d'aboutir dans des impasses.

    Il me semble aussi que cela doit à voir avec l’arithmétique modulaire mais je n'arrive pas à l'utiliser ici. Si quelqu'un peu me donner des pistes ? Ou me proposer une autre stratégie ?

    Remarque : je suis moins intéressé par les démonstrations elles-mêmes, que par le raisonnement stratégique et euristique qui va conduire à la dite démonstration ...
    Hello,

    fais simplement une division ... tu trouveras des résultats intéressants comme tout nombre dont la somme des chiffres de rang impair égale au modulo près la somme des chiffres de rang pair est divisible par 11, quelle que soit la base entière b>1.

  3. #3
    invite9e0875b2

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    ok, merci du conseil mais qu'est-ce qui te fait dire qu'il faut faire une division pour aller dans la bonne direction ? et la division de quoi par quoi, de mon expression avec (M+N) par la M de MP ?

  4. #4
    invite4492c379

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par Khwartz Voir le message
    ok, merci du conseil mais qu'est-ce qui te fait dire qu'il faut faire une division pour aller dans la bonne direction ? et la division de quoi par quoi, de mon expression avec (M+N) par la M de MP ?
    Non tu poses une division comme si tu divisais à la main pour obtenir une relation du genre. Après tu remarqueras vite qu'il te suffit de connaître b^n modulo d, où b est la base, n un entier>0 et d le nombre dont tu cherches un test de divisibilité.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite9e0875b2

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Désolé, mais quand tu dis de poser une division, je ne sais pas quel sont le diviseur et le dividende dont tu parles. Peux-tu me préciser STP?

  7. #6
    invite4492c379

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Pour comprendre comment ça marche tu prends le dividende A égale à anbn+...a1.b+a0, le diviseur égale au nombre d dont tu veux déterminer le critère de divisibilité et tu calcules le quotient et le reste.
    par exemple si on prend en base b>1, d=11 :
    on a
    1=0.11+1
    10=1.11-1
    100=(b-1)11+1
    1000=((b-1)b-1)11-1

    d'où A=anbn+...a1.b+a0=a0-a1+...+(-1)nan + 11.k
    donc 11 divise A si la différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair est elle-même un multiple de 11 (revient à dire congru à 0 modulo 11)

    Ici ça s'arrange bien car b+1=11 dans toute base entière b>1.

  8. #7
    invite9e0875b2

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Très bien, merci beaucoup pour cet éclaircissement

    Puisque c'est la stratégie de recherche de réponses qui m'intéresse le plus, qu'est-ce qui t'a conduit à écrire :

    1=0.11+1
    10=1.11-1
    100=(b-1)11+1
    1000=((b-1)b-1)11-1

    et non pas :

    1=0.11+1
    10=0.11+10
    100=(b-1)11+1
    1000=8.121+2.11+10 ?

  9. #8
    invite4492c379

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par Khwartz Voir le message
    Très bien, merci beaucoup pour cet éclaircissement

    Puisque c'est la stratégie de recherche de réponses qui m'intéresse le plus, qu'est-ce qui t'a conduit à écrire :

    1=0.11+1
    10=1.11-1
    100=(b-1)11+1
    1000=((b-1)b-1)11-1

    et non pas :

    1=0.11+1
    10=0.11+10
    100=(b-1)11+1
    1000=8.121+2.11+10 ?
    Les deux sont équivalentes, je trouve la première plus simple. Si tu essayes de trouver un test de divisibilité par 7 en base 10 par exemple tu peux en trouver plusieurs, certains seront plus adaptés que d'autres dans certaines situations.

  10. #9
    invite9e0875b2

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    ok, mais alors pourquoi tu n'as pas écris plutôt :

    1=0.b+1
    10=1.b-1
    100=(b-1)b+1
    1000=((b-1)b-1)b-1 ?

  11. #10
    invite4492c379

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par Khwartz Voir le message
    (...)

    1000=8.121+2.11+10 ?
    Oooops ... lu un peu trop rapidement, je me mets en une base b>1 ... la dernière ligne n'est pas une écriture valide dans tous les cas.

  12. #11
    invite4492c379

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Parceque j'ai écrit les deux et je ne garde que celle qui me semble la plus apropriée
    Il n'y a pas de formule magique qui te donne la meilleure. Essaye de trouver plusieurs critères de divisibilité par 7 en base 10 ... tu comprendras.

  13. #12
    invite9e0875b2

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Désolé, j'ai buggé et ai pas pu corriger mon précédent post. Voici donc mon post corrigé :

    ----------------------

    1=0.11+1
    10=1.11-1
    100=(b-1)11+1
    1000=((b-1)b-1)11-1

    Je ne comprends pas : tu écris les expressions comme si 11 était en fait la base, car en effet, en base 11 on écrirait comme je l'avais fait :

    1=0.11+1
    10=0.11+10
    100=9.11+1
    1000=8.121+2.11+10

    mais tu utilises quand même "b", que tu avais définis comme la base, non pas en tant que base mais en tant que coefficient complémentaire, même pas à 11 mais à 10 ; comme expliques-tu la logique de ta démarche STP ?

  14. #13
    invite9e0875b2

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par photon57 Voir le message
    Oooops ... lu un peu trop rapidement, je me mets en une base b>1 ... la dernière ligne n'est pas une écriture valide dans tous les cas.
    Elle est bien valide en base 11, n'est-ce pas ? J'aurais pu écrire : 1000=8.11^2+2.11^1+10.10^0 pour être plus explicite

  15. #14
    invite4492c379

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par Khwartz Voir le message
    Désolé, j'ai buggé et ai pas pu corriger mon précédent post. Voici donc mon post corrigé :

    ----------------------

    1=0.11+1
    10=1.11-1
    100=(b-1)11+1
    1000=((b-1)b-1)11-1

    Je ne comprends pas : tu écris les expressions comme si 11 était en fait la base, car en effet, en base 11 on écrirait comme je l'avais fait :

    1=0.11+1
    10=0.11+10
    100=9.11+1
    1000=8.121+2.11+10

    mais tu utilises quand même "b", que tu avais définis comme la base, non pas en tant que base mais en tant que coefficient complémentaire, même pas à 11 mais à 10 ; comme expliques-tu la logique de ta démarche STP ?
    Quelle que soit la base b>1, b+1 s'écrit toujours 11b .
    3 en base 2 s'écrit 112
    11 en base 10 s'écrit 1110
    17 en base 16 s'écrit 1116
    etc ...

    11b=1.b1+1.b0 = b+1

  16. #15
    invite9e0875b2

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par photon57 Voir le message
    Parceque j'ai écrit les deux et je ne garde que celle qui me semble la plus apropriée
    Comme je te l'ai dit : c'est moins la réponse qui m'intéresse, et même je ne la veux même pas, que la démarche ou des pistes, tant que j'en ai besoin pour me débloquer. donc si tu me "cache" une partie de ta démarche, ça ne m'arrange pas du tout :/

    Il n'y a pas de formule magique qui te donne la meilleure. Essaye de trouver plusieurs critères de divisibilité par 7 en base 10 ... tu comprendras.
    J'ai déjà démontré les critères pour 4, 5, 6 et 9 si je me souviens bien, mais pour 7, j'ai séché hier et j'ai donc décidé d'être plus ambitieux pour trouver une logique plus générale de "prospection" de principe d'expression des critères de divisibilité. je vais donc au final l'appliquer ce que je trouverai avec toi peut-être à la (re)découverte des critères de divisibilité par 7, mais j'ai vraiment besoin de comprendre la logique, la stratégie exactement, je ne suis guère intéressé par les "intuitions" ou les "inspirations inexplicables" Ce que je souhaite c'est du "reproductible", du "recyclable" pour des cas proches ou plus éloignés

  17. #16
    invite9e0875b2

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par photon57 Voir le message
    Quelle que soit la base b>1, b+1 s'écrit toujours 11b .
    3 en base 2 s'écrit 112
    11 en base 10 s'écrit 1110
    17 en base 16 s'écrit 1116
    etc ...

    11b=1.b1+1.b0 = b+1
    je suis bien d'accord, mais bien que tu avais écris "par exemple si on prend en base b>1, d=11 :" je prenais tes "11" pour une écriture en base 10 car je n'avais pas réalisé que ta donnée de la base b>1 s'appliquait déjà à d=11 (d'où l'intérêt de l'écriture avec indices que tu viens d'utiliser qui m'ôte effectivement toute ambiguïté ) - je crois que je vais allé coucher mes os pour reprendre le travail un autre fois

  18. #17
    invite4492c379

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par Khwartz Voir le message
    Comme je te l'ai dit : c'est moins la réponse qui m'intéresse, et même je ne la veux même pas, que la démarche ou des pistes, tant que j'en ai besoin pour me débloquer. donc si tu me "cache" une partie de ta démarche, ça ne m'arrange pas du tout :/
    Je ne cache rien ... de plusieurs relations tu gardes celle qui te semble la plus simple.

    Citation Envoyé par Khwartz Voir le message
    J'ai déjà démontré les critères pour 4, 5, 6 et 9 si je me souviens bien, mais pour 7, j'ai séché hier et j'ai donc décidé d'être plus ambitieux pour trouver une logique plus générale de "prospection" de principe d'expression des critères de divisibilité. je vais donc au final l'appliquer ce que je trouverai avec toi peut-être à la (re)découverte des critères de divisibilité par 7, mais j'ai vraiment besoin de comprendre la logique, la stratégie exactement, je ne suis guère intéressé par les "intuitions" ou les "inspirations inexplicables" Ce que je souhaite c'est du "reproductible", du "recyclable" pour des cas proches ou plus éloignés
    Le reproductible ?
    En base 10 pour un critère de divisibilité par d :
    Tu calcules les restes de la division de 10n par d en commençant à n=0, en incrémentant n de 1 jusqu'à former un cycle. Exemple avec 7, tu vas trouver 1,3,2,6,4,5.
    Tu veux tester avec un nombre A=an..a1a0, tu calcules A'=a0*1+a1*2+a2*3+a3*6+a4*4+a5*5+a6*1+...
    7 divise A ssi 7 divise A', si A' est trop grand tu recommences ...
    Dans le cycle 1,3,2,6,4,5 tu peux remplacer n'importe lequel des chiffres par le chiffre moins 7. Cela signifie que si tu utilises 1,3,2,6,4,5 ou 1,3,2,-1,-3,-5 c'est pareil. Tu remarques que tu as en fait 2 fois 3 chiffres au signe près ... des regroupements semblent possibles.

  19. #18
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Photon je sais pas pour les autres mais je comprends pas grand chose.

    C'est sans doute juste mais les relations sont données trop vite sans explications et on comprends pas bien la démarche. Je pense que ça pourra éviter des casses têtes de donner juste un peu plus de précisions.

  20. #19
    invite4492c379

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    Photon je sais pas pour les autres mais je comprends pas grand chose.

    C'est sans doute juste mais les relations sont données trop vite sans explications et on comprends pas bien la démarche. Je pense que ça pourra éviter des casses têtes de donner juste un peu plus de précisions.
    Ok ... je vais essayer d'être un peu plus rigoureux ...
    Soit b un entier >1,
    on a : bn = (-1)n [b+1]

    Si on exprime cette relation en base b :

    10bn=(-1)n [11b]

    an...a1a0b = a0b+a2b+... - (a1b+a3b+...) [b+1]

    avec an...a1a0b l'écriture en base b du nombre

  21. #20
    invite9e0875b2

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par photon57 Voir le message
    Je ne cache rien ... de plusieurs relations tu gardes celle qui te semble la plus simple.
    Ben si, justement, tu ne m'avais pas dit au départ que tu avais cherché plusieurs relations et que celles que tu me présentaient était les plus simples.

    Le reproductible ?
    En base 10 pour un critère de divisibilité par d :
    Tu calcules les restes de la division de 10n par d en commençant à n=0, en incrémentant n de 1 jusqu'à former un cycle. Exemple avec 7, tu vas trouver 1,3,2,6,4,5.
    Tu veux tester avec un nombre A=an..a1a0, tu calcules A'=a0*1+a1*2+a2*3+a3*6+a4*4+a5*5+a6*1+...
    7 divise A ssi 7 divise A', si A' est trop grand tu recommences ...
    Oui, extra! Merci pour la méthode

    Dans le cycle 1,3,2,6,4,5 tu peux remplacer n'importe lequel des chiffres par le chiffre moins 7. Cela signifie que si tu utilises 1,3,2,6,4,5 ou 1,3,2,-1,-3,-5 c'est pareil. Tu remarques que tu as en fait 2 fois 3 chiffres au signe près ... des regroupements semblent possibles.
    ok, je vais creuser ça. Merci pour ton aide Photon

  22. #21
    invite4492c379

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par Khwartz Voir le message
    Ben si, justement, tu ne m'avais pas dit au départ que tu avais cherché plusieurs relations et que celles que tu me présentaient était les plus simples.

    (...)
    Oui tu trouves deux relations, celle que tu as citées

  23. #22
    invite9e0875b2

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par photon57 Voir le message
    Ok ... je vais essayer d'être un peu plus rigoureux ...
    Soit b un entier >1,
    on a : bn = (-1)n [b+1]
    Merci Photon pour cette nouvelle expression très générale

    Pour ce qui me concerne, ce qui me manque à chaque fois, et c'est bien normal parce que presque personne ne prends le temps de le faire, c'est d'expliquer comment tu as eu cette idée de poser cette expression-là.

    C'est comme la démarche que j'avais adoptée dans ma recherche, quelle puisse aboutir ou non à quelque chose d'intéressant, je sais pourquoi je l'avais choisie et je te l'ai écrit : pour que le diviseur apparaisse un maximum de fois dans l'expression afin de pouvoir ensuite effectuer des simplifications et supprimer des termes.

    Si c'est juste qu'un prof te l'as montrée, c'est cool avec moi, mais c'est juste que je voudrais savoir TOUTE la démarche intellectuelle qui conduit à "pondre" telle expression, à faire telle recherche plutôt qu'une autre, et ce, autant que possible en pas à pas pour que se soit bien clair et donc facilement analysable en tant que démarche

    Si on exprime cette relation en base b :

    10bn=(-1)n [11b]
    Désolé mais soit la b=3 et n=2, n'a-t-on pas :

    10bn=3102=9, alors que :

    (-1)2 [410]=4 ?

  24. #23
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par photon57 Voir le message
    Ok ... je vais essayer d'être un peu plus rigoureux ...
    Soit b un entier >1,
    on a : bn = (-1)n [b+1]

    Si on exprime cette relation en base b :

    10bn=(-1)n [11b]

    an...a1a0b = a0b+a2b+... - (a1b+a3b+...) [b+1]

    avec an...a1a0b l'écriture en base b du nombre

    Je ne comprends pas la dernière relation par exemple.


    Que signifie les crochets ?

    De même que vaut a0b ?

    Un exemple concret serait peut être plus parlant.
    Dernière modification par invite7863222222222 ; 21/01/2012 à 10h03.

  25. #24
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par photon57 Voir le message
    on a : bn = (-1)n [b+1]
    Si on prends b=4, n=3 on a 43 = 64 pourquoi ça serait égal à (-1)[5+1] (-6 ?) ?
    Dernière modification par invite7863222222222 ; 21/01/2012 à 10h09.

  26. #25
    invite4492c379

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Tu sais à ce niveau là il n'y a pas vraiment d'origine à ma «démarche». Ça se confond entre répondre à des énigmes, cours d'arithmétiques, entrainement à des chiffres et des lettres, écriture d'algos, lecture ... je te l'ai dit : il n'y a pas de méthode magique.
    La méthodes des puissances de la base modulo le diviseur est générale, mais par exemple pour la base 10 et d=7 tu as aussi 7|an..a0 ssi 7|(an..a1-2*a0) ...

    Sinon en base 3 :
    10²=100=11*2+1=1[11]

  27. #26
    invite9e0875b2

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    "a0b" veut dire : coefficient indice zéro de l'expression du nombre entier dans la base "b"

  28. #27
    invite9e0875b2

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par photon57 Voir le message
    Tu sais à ce niveau là il n'y a pas vraiment d'origine à ma «démarche». Ça se confond entre répondre à des énigmes, cours d'arithmétiques, entrainement à des chiffres et des lettres, écriture d'algos, lecture ...
    Ok, pas de souci, merci de m'avoir précisé

    je te l'ai dit : il n'y a pas de méthode magique.
    je n'ai jamais demandé de "méthode magique" mais "logique" lol, quelqu'un serait-il dyslexique ?
    Perso, je n'ai que ça, et plus j'en ai, mieux ça me paraît, en tout cas ça m'a souvent servi ; d'autant que pour trouver des méthodes générales et systématiques de résolution, ça demande de vraiment comprendre se qui se passe. Mais une fois trouvée, là du coup, oui, ça devient tellement fastoche que ça en devient presque magique. Et mon test en fait c'est de me demander si la méthode pourrait être programmée dans un ordi (un de mes grands projets : formaliser complètement le raisonnement humain ).

    La méthodes des puissances de la base modulo le diviseur est générale,
    C'est donc ce qu'il me faut


    mais par exemple pour la base 10 et d=7 tu as aussi 7|an..a0 ssi 7|(an..a1-2*a0) ...

    Sinon en base 3 :
    10²=100=11*2+1=1[11]
    Merci pour ces dernières pistes, je vais les creuser certainement un peu plus tard, car après quelque quarante heures de veille, je commence à saturer

    Bien cordialement, en te remerciant encore de ton aide.

  29. #28
    invite4492c379

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    Je ne comprends pas la dernière relation par exemple.


    Que signifie les crochets ?

    De même que vaut a0b ?

    Un exemple concret serait peut être plus parlant.
    j' utilise les crochets pour noter le modulo, quant à an..a0b, cela représente l'écriture d'un nombre en base b (d'où indice b), les a0 à an étant les chiffres de ce nombre (a0 le chiffre le plus à droite et an le chiffre le plus à gauche). D'une manière générale, on a pour tout chiffre ai 0<ai<b.

  30. #29
    invite4492c379

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    Si on prends b=4, n=3 on a 43 = 64 pourquoi ça serait égal à (-1)[5+1] (-6 ?) ?
    Dans la suite je souligne les écritures en base 4 et ne souligne pas les écritures en base 10 (avec = pour la congruence)

    4³ = 64 = 65-1 = 5*13 -1 = -1 [5]
    en base 4 :
    10³ = 1000 = 1001-1 = 11*31-1 = -1 [11]

  31. #30
    invite9e0875b2

    Re : Divisibilité / Expression générale / Recherche / Seconde

    Super bien clarifié

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