Bonjour!
Voici un exercice que j'ai résolu au 3/4, mais je bloque dans la dernière partie...
Partie A) il faut étudier la fonction f(x)=x.ln(x)/(x+1) sur ]0; +inf[: OK
Partie B) on se propose d'étudier f(x)=n avec n entier naturel non nul
1) pour tout n, j'ai montré que cette équation admet une solution a(n) et une seule
2) j'ai établi que f(exp(n))<=n et que a(n)>= exp(n)
j'ai ensuite montré que la relation f(a(n))=n pouvait s'écrire ln[a(n)/exp(n)]=n/a(n)
On en déduit que lorsque n tend vers +inf, a(n)/exp(n) tend vers 1
3) Il faut comparer a(n) à exp(n)+n; pour cela on me dit d'écrire a(n)=exp(n)*(1+e(n)] où e(n)>=0
j'ai montré que [1+e(n)]*ln(1+e(n))=n/exp(n)
Ensuite, et c'est là que je bloque, il faut montrer que pour tout t>=0: 0<=(1+t)*ln(1+t)-t<=t²/2.
Je n'arrive pas à démontrer cette inégalité à partir des résultats précédents??? A moins qu'il y ait une autre piste que je ne vois pas???? J'ai étudié la fonction g(t)=(1+t)*ln(1+t)-t<-t²/2 en calculant g'(t) et g''(t). Je trouve le résultat mais ça me semble très lourd...
NB: en plus, je ne comprends pas la finalité de cet exercice.....
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