Inéquation

[shero1040]

Bonsoir,
J'ai une inéquation à étudier et je suis un peu perdu

mon inéquation est (1-x)*√(5+x)<(1+x)*√(5-x)
Et je dois la résoudre par méthode algébrique

La premiere chose qui mes venu à l'esprit est d'élever les fonctions au carré afin de supprimer les racines carrées, ensuite en continuant à résoudre je tombe sur 2x³-18x<0
Je ne sais pas si c'est correct...
Je ne sais plus quoi faire, je ne comprend pas à quoi je dois arriver (je pige meme pas à quoi cela sert )
par méthode graphique je pense que la solution est S: )-∞;2(

Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment résoudre de sorte à ce que je comprenne ce que signifie la solution SVP ?

MERCI d'avance.
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[wruz511]

Tu peut élever au carré et garder le même signe seulement si l'expression est supérieur à 0

a > b <=> a² > b² si a>0 et b>0 (ou égal) ex: 2 > 1 donc 4 > 1
a > b <=> a² < b² si a<0 et b<o ex: -1 > -2 donc 1 < 4

Donc il faut faire attention au valeur donc ce n'est pas la bonne méthode.

[wruz511]

Tu peux élever au carré et garder le même signe seulement si l'expression est supérieur à 0

a > b <=> a² > b² si a>0 et b>0 (ou égal) ex: 2 > 1 donc 4 > 1
a > b <=> a² < b² si a<0 et b<o ex: -1 > -2 donc 1 < 4

Donc il faut faire attention au valeur donc ce n'est pas la bonne méthode.

[wruz511]

En fait, tu as deux fonctions symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Si on note f(x) =(1-x)√(5+x) et g(x) =(1+x)√(5-x), f étant définie sur [-5;+∞[ et g sur ]-∞;5] car le nombre sous la racine doit être positif.

On a f(-x) = (1+x)√(5-x) = g(x).

Ainsi f et g se coupent en un point de l'axe des ordonnées d'abscisse 0.
Or f est décroissante car 1-x est décroissante et g est croissante car 1+x est croissante.

Donc Vx <0, f>g et Vx > 0, f <g ( car en 0, f = g, l'un est croissante et l'autre décroissante )

Donc (1-x)√(5+x)<(1+x)√(5-x) <=> f <g donc x > 0 donc x appartient à ]0;5] car l ne faut pas oublier les ensembles de définition ( au pire trace les deux fonctions à la calculatrice pour bien voir )

[A voir en vidéo sur Futura]

[shero1040]

Merci beaucoup pour ta réponse.

Que veux-tu dire par Vx ?


Si f(x)<g(x) n a bien toutes les valeurs de f(x) quand elles sont plus petite que g(x) donc effectivement lorsque je trace les 2 fonctions j'arrive à le constater.

Maintenant le problème est que je suis obligé de trouver la solution par CALCUL.
Ce que je ne suis pas capable de faire.

Mais j'ai tous de même essayé :

(1-x)√(5+x)<(1+x)√(5-x) <=> (1-x)√(5+x)-(1+x)√(5-x)<0 <=> ((1-x)√(5+x))²-((1+x)√(5-x))²<0²
<=>
En simplifiant : 2x³-18x<0 et comme tu l'a dis je me trompe dans le sens du signe

donc : 2x³-18x>0

Je ne sais pas ci cela a un sens, je ne sais vraiment plus quoi faire apres avoir trouver ce résultat.
Encore merci.

[wruz511]

La méthode algébrique n'est pas forcement un calcul, c'est un ensemble d’objets mathématiques muni de certaines propriétés. Ainsi cette méthode est bien algébrique: fonction paire, croissance, décroissance... Bref ce n'est ni une méthode graphique, ni par tatonnement.

Sinon, Vx = pour tout x. En vrai c'est un A renversé mais taper V va plus vite.

[shero1040]

OK.
Je te remerci de m'avoir aidé!!!
comment a tu trouver S: )0;5( sans utilisé ton outils graphique ?

[wruz511]

Eh bien existe si et seulement si .

Donc existe si et seulement si soit

Donc x > 0 et soit x appartient à ]0;5]

[shero1040]

Merci infiniment