montrer 0 < an < 1 (suite)

[Minialoe67]

Bonsoir,

f(x)= (1-x)³+x
On définit une suite (a_n) en posant a_n+1=f(a_n) pour tout n appartenant à |N et a₀=0,4

1) démontrer que, pour tout entier n, 0 < a_n < 1
(on pourra dresser le tableau de variations de f)

Par récurrence on doit alors montrer cela.
(1) pour n=0, ça marche.
(2) on suppose 0 < a_n < 1 pour un certain n
(3) démontrons que 0 < a_n+1 < 1.

En cours, on a tracé le tableau de variations entre 0 et 1, pourquoi seulement entre ces 2 valeurs et pas entre 0 et +∞ ?

Que faut-il rédiger dans cette 3ème partie de démonstration?

(4) on conclue que 0 < a_n < 1 pour tout n.

Merci de m'éclairer
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[invitedfec6ff6]

alors si vous avez tracez le tableau de variation c'est pour utilisé l'hypothèse de récurrence
donc si on suppose 0<an<1 il suffit de regardé le tableau de variation entre 0 et 1
Vous trouvez surement que f([0;1]) est inclus dans [0;1]
donc d'après le tableau de variation f(an) appartient au segment [0;1] donc an+1 appartient au segment [0;1]
si c'est des inégalités stricte y a juste à modifier ][
pour justifier il faut se servir du tableau de variation

[Johanneddy]

f est probablement strictement monotone sur [0,1]
Tu pars de 0<an <1
Et tu appliques f à chaque membre de l’inégalité

[albanxiii]

Espérons que cet exercice n'est pas resté en souffrance depuis les 10 ans qui séparent cet déterrage du dernier message

[A voir en vidéo sur Futura]

[Johanneddy]

Ptdr .
Du temps perdu….
Ça pourra servir à quelqu’un d’autre !