Sans zéro réel ?

[invited6b4420b]

Bonjour à tous,

voilà mon soucis (aussi simple qu'il soit).

J'ai été confronté à un petit problème de mathématique dont le français m'échappe (ahah). Voici le problème cité :

Décomposer le polynôme p(x)=x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x +1 en produit de facteurs linéaires et quadratiques (sans zéros réels).

Ce qui me pose problème ici c'est pas de décomposer mon polynôme, mais le "sans zéros réels".
Est-il juste de vouloir décomposer ce polynôme de façon à utiliser deux fois la formule du discriminant et ainsi trouver ces fameux zéros non réels ?

Merci à vous
-----

[inviteea028771]

Le "sans zéros réels" ne concerne que les facteurs quadratiques.

Sinon, non, appliquer deux fois la formule du discriminant n'est pas possible

Ici il faut remarquer deux racines simples (p(1) = p(-1) = 0), ce qui nous facilite grandement le travail

On factorise donc p par (x-1)(x+1) , puis reste un polynôme de degré 2 sur lequel on peut utiliser la formule du discriminant.


Ici le polynôme à bien 4 zéros réels, on peut donc l'écrire (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), avec a,b,c et d réels. Ce n'est pas toujours possible.
Par exemple p(x) = x^4+2x^2+1 n'a pas de zéro réels, et la meilleure factorisation possible dans R est p(x) = (x²+1)(x²+1)
De même, q(x) = x^4-3x^3+3x^2-3x+2 a seulement 2 zéros réels, et la meilleure factorisation possible dans R est q(x) = (x²+1)(x-2)(x-1)

Au passage, tout polynôme à coefficients dans R peut se factoriser dans R en produit de polynômes de degré 1 ou 2, ou les polynômes de degré 2 n'ont pas de racines réels (et ne sont donc pas factorisables)