Division (Math spe)

[Mpropre984]

Bonjour, je revise pour un ds et je bloque sur cette question :
a et b premiers entre eux, soit d le PGCD de (a+b) et de (ab),
montrez que d divise a²
Merci
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[louisdark]

Que n'arrive tu pas à faire? La méthodologie est-elle le problème?

[Mpropre984]

Je n arrive à rien trouver du tout, en essayant des combinaisons linéaires de ab et de à+b

[sammy93]

Salut.
a et b sont premiers entre eux donc PPCM(a;b)=ab.On sait que si m et d sont respectivement le PPCM et le PGCD de a et b on a md=ab.On remplace m=ab donc abd=ab.......
Sauf erreur de ma part.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sammy93]

Ce n'est pas une erreur mais une GROSSE faute d'inattention.Je te présente toutes mes excuses.

[sammy93]

Re.
a et b sont premiers entre eux donc d'après Bezout: ua+vb=1 donc ua=1-vb.On note S=a+b et P=ab.On multiplie S par u:
uS=ua+ub.On remplace ua et uS=1-vb+ub et uS=1-b(v-u) et enfin S(u)+b(v-u)=1.S et b sont donc premiers entre eux.
On peut montrer de la meme manière que S et a sont premiers entre eux.
Tu peux montrer en utilisant un raisonnement par l'absurde que S et P sont premiers entre eux donc d=1.
Je suis en Terminale comme toi alors ne m'en veux pas trop si j'ai tout faux.

[Linkounet]

Il faut montrer que tout diviseur c de d divise a².

Soit c un diviseur de d, par définition du PGCD il divise (a+b) et ab. Comme il divise ab alors soit il divise a et c'est bon (car il divise alors a²), soit il ne divise pas a et alors il divise obligatoirement b (car a et b sont premiers entre eux). Comme d'autre part c divise aussi a+b il divise la différence de a+b et de b qui est a donc il divise a².