demonstration par disjonction des cas

[invite6d96f626]

bonjour
comment montre-t-on que a(a^2-1) est multiple de 6?
merci
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[invitedfec6ff6]

Le petit théorème de fermat doit jouer

[PlaneteF]

Bonjour,

comment montre-t-on que a(a^2-1) est multiple de 6?

Tout simplement parce que :

Vu que a-1, a, et a+1 se suivent il y en a un sur les trois qui est multiple de 3, et un ou deux sur les trois qui est multiple de 2, ... donc le produit est forcément multiple de 2 et 3, donc de 6 !

Après on peut toujours exprimer cela de manière plus formelle à l'aide des congruences.

[invite4ff70a1c]

De manière plus formelle,comme le dit PlanèteF,tu raissonnes par disjonction des cas:
a est pair donc a=2k.Tu montres que a(a-1)(a+1) est pair.
a est impair donc a=2k+1.Tu montres que a(a-1)(a+1) est pair.
De meme tu poses a=3k ,a=3k+1,a=3k+2 et tu montres que tous conduisent à a(a-1)(a+1) divisible par 3.Le
corollaire de Gauss permet de conclure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

De manière plus formelle,comme le dit PlanèteF,tu raissonnes par disjonction des cas:
a est pair donc a=2k.Tu montres que a(a-1)(a+1) est pair.
a est impair donc a=2k+1.Tu montres que a(a-1)(a+1) est pair.
De meme tu poses a=3k ,a=3k+1,a=3k+2 et tu montres que tous conduisent à a(a-1)(a+1) divisible par 3.Le
corollaire de Gauss permet de conclure.

Il y a aussi l'idée mentionnée par Elessog d'utiliser le petit théorème de Fermat qui conduit immédiatement à la divisibilité par 3. Par contre je ne sais pas à quel niveau d'étude ce théorème est supposé être connu ?

[PlaneteF]

... et pour la divisibilité par 2, on peut aussi utiliser la propriété que et ont la même parité ...

... donc et sont de parité différentes ...
... donc est le produit d'un nombre pair et d'un nombre impair ...
... donc divisible par 2 !