Bonjour
"Montrer qu'une suite Un dont chacune des trois sous-suites U2n, U2n+1, et U3n est convergente est elle-même convergente."
Voila trois heures que je bloque sur cette question.
Je ne voit pas à quoi sert U3n. Les deux premières sous-suites suffisent pour la demonstration, non ?
J'imagine qu'il faut utiliser la définition des limites de suites, mais je ne voit pas comment faire.
Si quelqu'un pouvait m'aider...
Merci de votre aide
Déjà U2n et U2n+1 ne sont pas suffisantes, en effet en contre-exemple pour la suite (-1)n, la suite extraite des termes pairs (resp.impair) converge vers 1 (resp. -1) mais ne converge pas (contradiction avec unicité de la limite + une sous-suite converge vers la même limite que la suite).
Maintenant poste-toi la question : un tel phénomène peut-il se produire si u3n est aussi convergente ? Autrement dit commence par montrer que la limite de u(2n) et celle u(2n+1) sont égales. Après ça doit se faire sans trop de mal.
une suite converge ssi toutes suite extraite converge et vers la meme limite.
en fait, d'après ton énoncé, U2n et U2n+1 convergent, mas pas forcément vers la meme limite.
prend par exemple (-1)^n, U2n converge vers 1, U2n+1 vers -1, mais la suite ne converge pas.
la suite extraite U3n sert à confirmer que ces 2 limites sont les memes.
voilà, à toi de rédiger maintenant.
OK, je croit que j'ai compris :
La sous-suite U2n rassemble tous les nombres pair (0,2,4,...), elle converge vers l1.
La sous-suite U2n+1 rassemble tous les nombres impair (1,3,5,...), elle converge vers l2.
La sous-suite U3n rassemble alternativement des nombre pair et des nombres impair (0,3,6,9,...), elle converge vers l3.
Les sous-suites de nombres pair et impair convergent.
La sous-suite pair-impair converge elle aussi. On en déduit que les deux précédentes sous-suites ont les même limites.
merci.
Mais comment rédiger ?
Il faut que je trouve une égalité entre U2n, U2n+1, et U3n ?
Il faut que je parte de la définition de la limite de ces suites ?
Une égalité entre leur limite plutôt.Envoyé par simon50
Si tu trouves (ce n'est pas très dur) une sous-suite commune à u(2n) et à u(2n+1) tu peux en déduire que les limites de u(2n) et u(3n) sont égales (il y a juste un résultat à rappeler).
Tu procèdes de même pour u(2n+1) et u(3n).
Par transitivité de l'égalité les trois limites sont égales (je la note L ensuite).
Ensuite pour montrer que u(n) converge, tu pars de la définition de la convergence d'une suite.
Soit e>0, il faut trouver N tel que pour tout n'>N alors lu(n)-Ll<e.
Or tu connais un N1 qui "marche" pour les pairs un N2 qui marche pour les pairs.
Je te laisse deviner le reste.
Ou bien suite dans un compact avec une seule valeur d'adhérence.
bonjour
on peut remarquer que u(6n) est une sous suite de u(2n) , donc les deux suites u(6n) et u(2n) ont la meme limite.
on remarque aussi que u(6n) est une sous suite de u(3n) donc les deux suite u(6n) et u(3n) ont la meme limite. on déduit alors que u(2n) et u(3n) ont la meme limite.
on a u(6n+3) est une sous suite de u(3n) donc u(3n) et u(6n+3) ont la meme limite. comme u(6n+3) est une sous suite de u(2n+1) alors u(2n+1) et u(6n+3) ont la meme limite donc u(3n) et u(2n+1) ont la meme limite.
on déduit que u(2n+1) et u(2n) ont la meme limite ce qui est suffisant pour on déduire que la suite est convergente.
une fois que tu as limite de u(2n) = limite de u(2n+1)
tu dis simplement pour tout espilon > 0 ...
pour montrer que limite de u(2n) = limite de u(2n+1)
tu peux supposer que limite de u(2n) différent de limite de u(2n+1) et montrer que c'est absurde (par exemple)
Bonjour à tous,
je mets un up pour cette question intéressante, je n'ai pas vraiment compris les explications données en réponse, quelqu'un pourrait-il synthétiser la résolution de ce problème pour m'éclairer?
Merci à ceux qui répondront!
Salut.
Si tu connais le théorème: toute sous suite d'une suite convergente converge vers la même limite.
Alors, essaye de bien comprendre le post de snodo qui est très bien expliqué je trouve:
En gros, U(3n) est une suite pivot qui permet de faire le lien entre la limite de U(2n) et celle de U(2n+1).on peut remarquer que u(6n) est une sous suite de u(2n) , donc les deux suites u(6n) et u(2n) ont la meme limite.
on remarque aussi que u(6n) est une sous suite de u(3n) donc les deux suite u(6n) et u(3n) ont la meme limite. on déduit alors que u(2n) et u(3n) ont la meme limite.
on a u(6n+3) est une sous suite de u(3n) donc u(3n) et u(6n+3) ont la meme limite. comme u(6n+3) est une sous suite de u(2n+1) alors u(2n+1) et u(6n+3) ont la meme limite donc u(3n) et u(2n+1) ont la meme limite.
on déduit que u(2n+1) et u(2n) ont la meme limite ce qui est suffisant pour on déduire que la suite est convergente.
J'ai une simple question pour cette exercice :
Même si on montre que ces 2 sous suites convergent vers la même limite , est ce que cela est suffisant pour dire que la suite Un converge vers cette limite ?
Car comme vous avez noté : une suite converge ssi toutes suite extraite converge et vers la meme limite.
Car ce n'est pas toujours qu'on connait tous les suites extraites d'une suite quelconque !!
Cordialement !
le résultat est vrai. Après, savoir si on peut l'affirmer sans démonstration, c'est à discuter.
Je pense que c'est un cas particulier ici !
edit: question mal lue
