[TS] Suites dans C

[Jon83]

Bonjour à tous!

On me donne la suite (Zn) definie sur N* par Z1 non nul et Z(n+1)=1/Z²(n)
On demande quel doit être un argument de Z1 pour que Z(n) soit un réel à partir d'un certain rang p donné?

Je suppose donc que Z(1)=r.exp(ia) (r module >0 et a l'argument)
Z(2)=r^(-2).exp(-2ia)
Z(3)=r^4.exp(4ia)
.........



Donc, a mon avis, pour que Z(n) soit réel, il faut que a soit nul, donc que Z(1) soit réel, mais je ne suis pas certain ????
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[ansset]

pas tout à fait
e(2i)=-1 par exemple
et donc tous les e((2^k)*i) sont réels.

[S321]

pas tout à fait
e(2i)=-1 par exemple
et donc tous les e((2^k)*i) sont réels.

Petite erreur d’inattention Il ne faut pas oublier pi dans les exponentielle. Ce qui donne que si a=pi tout le monde est réel. Et il y a encore d'autres arguments qui fonctionnent.
Essayez de trouver tous les arguments qui fonctionnent en les construisant à partir de celui qu'on vous a donné, et une fois que vous en aurez trouvé pas mal montrez qu'il n'y en a pas d'autres (c'est un exercice franchement difficile il me semble).

[Jon83]

c'est un exercice franchement difficile il me semble.

Je suis bien de ton avis! C'est le 1er exercice du sujet du concours d'entrée en 1ère année de Sciences Po Lille de 2002!
Cela dit, on ne donne rien, sinon le fait que:
a) Z(1) est différent de 0
b) la récurrence.
C'est moi qui ait posé Z(1)=r.exp(ia)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Supposons n pair. Pour que Z(n) soit aligné avec Z(1) il faut que



k=0 donne a=0
k=1 donne
k=2 donne
k=3 donne
k=4 donne
......

J'ai fait une figure avec Géogébra, mais ça ne correspond pas... Je me suis certainement trompé quelque part???

[Gwyddon]

Bonjour,

Cet exercice n'est en fait pas si difficile qu'il n'y paraît et Jon est parti sur la bonne direction en raisonnant directement sur l'argument de la suite (Zn).

Il faut se poser la question essentielle : quelle est la condition exhaustive sur l'argument d'un complexe Z donné pour que Z soit réel ? Je peux d'ors-et-déjà vous affirmer que arg(Z)=0 n'est pas une condition exhaustive

D'autre part il n'est pas nécessaire de séparer les cas n pairs et n impaires.

Enfin il suffit de raisonner à près, la définition de la suite faisant en sorte que les pas d'arguments sont des multiples de 2 (donc n'importe quel *se transforme en un qui ne joue pas de rôle).

Cordialement,

[Jon83]

Il faut se poser la question essentielle : quelle est la condition exhaustive sur l'argument d'un complexe Z donné pour que Z soit réel ? Je peux d'ors-et-déjà vous affirmer que arg(Z)=0 n'est pas une condition exhaustive

Comme Z=z.exp(ia)=r[cos(a)+i.sin(a)] la condition exhaustive pour que Z soit réel est sin(a)=0 soit avec k appartenant à Z .... C'est ça ???

[Gwyddon]

Bonjour,

Tout à fait !

Maintenant essaie d'appliquer ce résultat à ton cas, avec Zn. Tu verras que tu as oublié le cas où k est impair dans le résultat que tu viens de montrer sur un Z général.

Cordialement,

G.

[Jon83]

Tout à fait !
Maintenant essaie d'appliquer ce résultat à ton cas, avec Zn. Tu verras que tu as oublié le cas où k est impair dans le résultat que tu viens de montrer sur un Z général.

.............................. .............

C'est bon?

[Jon83]

Plus personne ??

[sammy93]

Bonsoir Jon.
Je peux me tromper mais je n'ai pas exactement les memes résultats que toi.
et et .

Sauf erreur de ma part.

[Jon83]

Bonsoir Jon.
Je peux me tromper mais je n'ai pas exactement les memes résultats que toi.
et et .

Sauf erreur de ma part.

Bonjour sammy93!
Tu as raison, je me suis bien trompé dans mes calculs! J'ai recommencé et je trouve bien comme toi.
Par contre, la question exacte étant "On demande quel doit être un argument de Z(1) pour que Z(n) soit un réel à partir d'un certain rang p donné?" je ne sais pas comment répondre ???

[Jon83]

Par contre, la question exacte étant "On demande quel doit être un argument de Z(1) pour que Z(n) soit un réel à partir d'un certain rang p donné?" je ne sais pas comment répondre ???

En fait, comme l'avait précisé Gwyddon (mais je n'avais pas compris son argumentaire), quel que soit n, il faut exprimer Z(n) en fonction de n. Et on trouve (ça se démontre par récurrence)
Donc
Pour avoir un réel à partir du rang p>0, il faut qu'il existe un entier k tel que

Donc

Merci à tous pour votre aide et particulièrement à Job pour m'avoir mis sur la bonne voie!!!

Dans la question suivante on demande quel doit être un argument de Z(1) pour que les images M1, M2, M3 respectivement d'affixes Z(1), Z(2), Z(3) soient alignés.

Hormis le cas trivial 0 (pi) je conjecture avec Géogébra que ce sont des multiples de pi/3.
Je cherche à le démontrer ...

[sammy93]

Salut Jon.
J'ai pensé à démontré que c'est-à-dire calculer d'abord
le quotient à le simplifier avec pour obtenir
etc..
Sauf erreur de ma part.

[Jon83]

Salut Jon.
J'ai pensé à démontré que c'est-à-dire calculer d'abord
le quotient à le simplifier avec pour obtenir
etc..
Sauf erreur de ma part.

Bonjour Sammy93!
En effet, depuis mon dernier message, je me suis orienté vers la même méthode que toi, et j'obtiens le même résultat: il faut bien que .
Merci pour ta participation!

Voici la dernière question: Que peut-on alors dire des images Mn des termes Z(n)? Prouvez le!

Avec Géogébra, je conjecture que .
Je travaille sur la démonstration...

[sammy93]

Salut Jon.
Je reprends la question pour etre sur d'avoir compris:
si que peut-on alors en déduire pour les points d'affixes ?
Si c'est bien cela,il me semble qu'un raisonnement par récurrence résoudrait le problème.
Initialisationn l'a montré à la question précédente.
Hérédité:
On suppose alignés ou bien .
Il faut donc montrer que .
Je te soumets cette approche et j'attends pour avoir ton avis.

[Jon83]

Salut Jon.
Je reprends la question pour etre sur d'avoir compris:
si que peut-on alors en déduire pour les points d'affixes ?
Si c'est bien cela,il me semble qu'un raisonnement par récurrence résoudrait le problème.
Initialisationn l'a montré à la question précédente.
Hérédité:
On suppose alignés ou bien .
Il faut donc montrer que .
Je te soumets cette approche et j'attends pour avoir ton avis.

Si on calcule

Pour que les points soient sur la même droite, il faut que cette différence soit un multiple de

Or, on démontre facilement par récurrence que ce qui achève la démonstration!

Merci à tous pour votre participation et votre aide précieuse, et particulièrement à Job qui m'a bien guidé tout au long de cet exercice! A+

[Jon83]

Coquille: si on calcule Arg !!!!!