Bonjour à tous!
On me donne la suite (Zn) definie sur N* par Z1 non nul et Z(n+1)=1/Z²(n)
On demande quel doit être un argument de Z1 pour que Z(n) soit un réel à partir d'un certain rang p donné?
Je suppose donc que Z(1)=r.exp(ia) (r module >0 et a l'argument)
Z(2)=r^(-2).exp(-2ia)
Z(3)=r^4.exp(4ia)
.........
Donc, a mon avis, pour que Z(n) soit réel, il faut que a soit nul, donc que Z(1) soit réel, mais je ne suis pas certain ????
pas tout à fait
e(2i)=-1 par exemple
et donc tous les e((2^k)*i) sont réels.
Petite erreur d’inattentionEnvoyé par ansset
Il ne faut pas oublier pi dans les exponentielle. Ce qui donne que si a=pi tout le monde est réel. Et il y a encore d'autres arguments qui fonctionnent.
Essayez de trouver tous les arguments qui fonctionnent en les construisant à partir de celui qu'on vous a donné, et une fois que vous en aurez trouvé pas mal montrez qu'il n'y en a pas d'autres (c'est un exercice franchement difficile il me semble).
Je suis bien de ton avis! C'est le 1er exercice du sujet du concours d'entrée en 1ère année de Sciences Po Lille de 2002!
Cela dit, on ne donne rien, sinon le fait que:
a) Z(1) est différent de 0
b) la récurrence.
C'est moi qui ait posé Z(1)=r.exp(ia)
Supposons n pair. Pour que Z(n) soit aligné avec Z(1) il faut que
k=0 donne a=0
k=1 donne
k=2 donne
k=3 donne
k=4 donne
......
J'ai fait une figure avec Géogébra, mais ça ne correspond pas... Je me suis certainement trompé quelque part???
Bonjour,
Cet exercice n'est en fait pas si difficile qu'il n'y paraît et Jon est parti sur la bonne direction en raisonnant directement sur l'argument de la suite (Zn).
Il faut se poser la question essentielle : quelle est la condition exhaustive sur l'argument d'un complexe Z donné pour que Z soit réel ? Je peux d'ors-et-déjà vous affirmer que arg(Z)=0 n'est pas une condition exhaustive
D'autre part il n'est pas nécessaire de séparer les cas n pairs et n impaires.
Enfin il suffit de raisonner à
Cordialement,
Comme Z=z.exp(ia)=r[cos(a)+i.sin(a)] la condition exhaustive pour que Z soit réel est sin(a)=0 soit
Il faut se poser la question essentielle : quelle est la condition exhaustive sur l'argument d'un complexe Z donné pour que Z soit réel ? Je peux d'ors-et-déjà vous affirmer que arg(Z)=0 n'est pas une condition exhaustive
Dernière modification par Jon83 ; 05/03/2012 à 15h50.
Bonjour,
Tout à fait !
Maintenant essaie d'appliquer ce résultat à ton cas, avec Zn. Tu verras que tu as oublié le cas où k est impair dans le résultat que tu viens de montrer sur un Z général.
Cordialement,
G.
.............................. .............
C'est bon?
Plus personne ??
Bonsoir Jon.
Je peux me tromper mais je n'ai pas exactement les memes résultats que toi.
Sauf erreur de ma part.
Bonjour sammy93!Bonsoir Jon.
Je peux me tromper mais je n'ai pas exactement les memes résultats que toi.
Sauf erreur de ma part.
Tu as raison, je me suis bien trompé dans mes calculs! J'ai recommencé et je trouve bien comme toi.
Par contre, la question exacte étant "On demande quel doit être un argument de Z(1) pour que Z(n) soit un réel à partir d'un certain rang p donné?" je ne sais pas comment répondre ???
En fait, comme l'avait précisé Gwyddon (mais je n'avais pas compris son argumentaire), quel que soit n, il faut exprimer Z(n) en fonction de n. Et on trouve
Donc
Pour avoir un réel à partir du rang p>0, il faut qu'il existe un entier k tel que
Donc
Merci à tous pour votre aide et particulièrement à Job pour m'avoir mis sur la bonne voie!!!
Dans la question suivante on demande quel doit être un argument de Z(1) pour que les images M1, M2, M3 respectivement d'affixes Z(1), Z(2), Z(3) soient alignés.
Hormis le cas trivial 0 (pi) je conjecture avec Géogébra que ce sont des multiples de pi/3.
Je cherche à le démontrer ...
Salut Jon.
J'ai pensé à démontré que
le quotient
Sauf erreur de ma part.
Bonjour Sammy93!Salut Jon.
J'ai pensé à démontré que
le quotient
Sauf erreur de ma part.
En effet, depuis mon dernier message, je me suis orienté vers la même méthode que toi, et j'obtiens le même résultat: il faut bien que
Merci pour ta participation!
Voici la dernière question: Que peut-on alors dire des images Mn des termes Z(n)? Prouvez le!
Avec Géogébra, je conjecture que
Je travaille sur la démonstration...
Salut Jon.
Je reprends la question pour etre sur d'avoir compris:
si
Si c'est bien cela,il me semble qu'un raisonnement par récurrence résoudrait le problème.
Initialisationn l'a montré à la question précédente.
Hérédité:
On suppose
Il faut donc montrer que
Je te soumets cette approche et j'attends pour avoir ton avis.
Si on calculeSalut Jon.
Je reprends la question pour etre sur d'avoir compris:
si
Si c'est bien cela,il me semble qu'un raisonnement par récurrence résoudrait le problème.
Initialisation
Hérédité:
On suppose
Il faut donc montrer que
Je te soumets cette approche et j'attends pour avoir ton avis.
Pour que les points soient sur la même droite, il faut que cette différence soit un multiple de
Or, on démontre facilement par récurrence que
Merci à tous pour votre participation et votre aide précieuse, et particulièrement à Job qui m'a bien guidé tout au long de cet exercice! A+
Coquille: si on calcule Arg
