Bonjour à tous!
Voici un exercice pour lequel je bloque sur la question 3:
1°) Soit a un réel quelconque; montrer que l'équation z²-2zcos(a)+1=0 admet en général deux solutions complexes conju guées notées z1 et conj(z1). Les calculer. Pour quelles valeurs de a ces solutions sont-elles réelles?
Là, pas de difficulté: je trouve z1=cos(a)-i.sin(a) z2=cos(a)+i.sin(a)=conj(z1)
Ces solutions sont réelles si sin(a)=0 soit a=k.pi avec k appartenant à Z
2°) De même, on note z2 et conj(z2) les solutions de z²-2zcos(a')+1=0 avec a' réel quelconque.
On pose, pour tout z complexe: P(z)=[z-z1][z-conj(z1)][z-z2][z-conj(z2)] et sa forme développée: a, b, c, d réels
P(z)=z^4+az^3+bz^2+cz+d.
Calculer a, b, c, d en fonction de cos(a) et cos(a') et montrer qu'on a les relations (R) {a=c ; d=1}
Là encore, c'est du calcul algébrique d'identification sans difficulté particulière. Je trouve:
a=-2cos(a)-2cos(a')
b=2+4cos(a)cos(a')
c=a
d=1
3°) Réciproquement, on se donne à priori les réels a, b, c et d satisfaisant aux relations (R) et on cherche a déterminer des réels a et a' tels que z1, conj(z1), z2, conj(z2) soient solutions du polynôme P(z).
Montrer que cos(a) et cos(a'), s'ils existent, sont solutions de l'équation
Ici, je bloque... Je ne vois pas comment commencer???
Merci d'avance pour votre aide!
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Envoyé par Jon83 