[Arithmétique] résolution plus élégente pour ce problème ?

[invited4aaedc6]

Aloha,

J'aimerais avoir si possible, quelques pistes pour résoudre ce problème de manière plus élégante :

prouver qu'il n'existe aucun triplet (x,y,z) de vérifiant x²+y²+z² =7 [8]

J'ai procédé ainsi :

n² est congru à 0 , 1 ou 4 modulo 8 ,donc avec un 'tit tableau x²+y² est congru à 0,1,2,4 ou 5 modulo 8 , puis avec un autre tableau , x²+y²+z² est congru à 0,1,2,3,4,5 ou 6 modulo 8 , mais jamais à 7.

voilà, si vous ne pensez pas qu'il y a un autre chemin , vous me le dites , merci !
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[pallas]

cela semble tres correct

[invited4aaedc6]

oui merci , sauf que deux tableaux ça fait moche (pour moi en tout cas :P) , et je suis intéressé par une autre démo, plus belle si possible, sinon bah tant pis

[Amanuensis]

Un poil mieux, mais guère :

C'est équivalent à x²+y² = -(1+z²)

Le premier tableau suffit, car les seules possibilités d'un nombre et son inverse est x²+y²=1+z²=4 ou =0, or ni 3 ni 7 ne sont des carrés.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited4aaedc6]

Si j'ai bien compris , on dit que -(1+z²) est congru à 7,6 ou 3 [8] et que x²+y² est congru à 0,1,2,4 ou 5 [8] d'où la contradiction ? c'est déjà mieux merci

sinon je ne comprend pas très bien votre formulation : où utilise-t-on le fait que 3 et 7 ne sont pas des carrés ?

[invited4aaedc6]

Si j'ai bien compris , on dit que -(1+z²) est congru à 7,6 ou 3 [8] et que x²+y² est congru à 0,1,2,4 ou 5 [8] d'où la contradiction ? c'est déjà mieux merci

sinon je ne comprends pas très bien votre formulation : où utilise-t-on le fait que 3 et 7 ne sont pas des carrés ?

[Amanuensis]

Si j'ai bien compris , on dit que -(1+z²) est congru à 7,6 ou 3 [8] et que x²+y² est congru à 0,1,2,4 ou 5 [8] d'où la contradiction ?

C'est mieux que mon approche.

sinon je ne comprend pas très bien votre formulation : où utilise-t-on le fait que 3 et 7 ne sont pas des carrés ?

1+z²=0 implique z²=7, et 1+z²=4 implique z²=3

[Seirios]

Bonjour,

Un raisonnement possible :

On déduit de l'égalité que , donc à permutation des variables près, on se ramène à deux équations possibles : et , la seconde n'ayant pas de solution puisque 4 ne divise pas 7. En multiplicant la première par 2, on obtient d'où ; or un carré est congru à 1 ou 0 modulo 4.

[Amanuensis]

Une autre approche, proposée par mon fils.

Modulo 2, l'équation implique qu'il s'agit de 3 impairs ou 1 impair et deux pairs.

Modulo 4, le cas deux pairs est impossible car il ne reste qu'un carré, et -1 n'est pas un carré.

Modulo 8, trois impairs ont la somme de leurs carrés égale à 3, car tous les impairs ont 1 comme carré modulo 8.

[invited4aaedc6]

Une autre approche, proposée par mon fils.

Modulo 2, l'équation implique qu'il s'agit de 3 impairs ou 1 impair et deux pairs.

Modulo 4, le cas deux pairs est impossible car il ne reste qu'un carré, et -1 n'est pas un carré.

Modulo 8, trois impairs ont la somme de leurs carrés égale à 3, car tous les impairs ont 1 comme carré modulo 8.

Joli ! merci

@ Seirios , comment se ramener à ces deux équations ?

[Seirios]

@ Seirios , comment se ramener à ces deux équations ?

Je n'ai rien, la deuxième équation correspond au cas où les variables sont toutes paires alors que je pensais au cas où elles étaient toutes impaires, ce qui simplifie faussement les choses