Problème de statistiques

[Gabriel]

Bonjour.
Quelqu'un aurait-il une piste pour trouver une solution à ce problème ?

Les résultats des admissions au concours d'entrée d'une école sont affichés : sur les 1254 candidats, seulement 323 sont admis.
Jean n'est pas parmi les reçus et pourtant il pense avoir très bien réussi les épreuves.
C'est effectivement ce qu'il constate quand on lui fait parvenir ses notes. Sur l'ensemble des épreuves, il a une moyenne de 14 sur 20.
Après publication du rapport du jury, il constate que la moyenne des candidats à été de 8. Il connaît au moins 11 camarades qui on eu 0

Immédiatement, il est persuadé que le jury s'est trompé et souhaite déposer un recours. Qu'en pensez vous ?
Pour répondre à la question (si le jury s'est trompé ou pas), on s'appuiera sur des calculs statistiques.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

J'ai remarqué que 323 sur 1254 c'est à peu près 25 %, donc cette note d'admission correspond au 3ème quartile. Mais comment trouver ce 3ème quartile ?
On nous donne la moyenne ... et le seul moyen que je connaisse, de mettre en rapport la moyenne (8/20) et un classement des donnés qui pourrait donner Q3, est la référence à la courbe de Gauss : on sait que 68 % des données sont entre la moyenne plus ou moins l'écart type, de là on peut dire que 34 % des données sont entre la moyenne et la moyenne plus l'écart type (on dépassera un peu Q3 qui est à 25 % de la moyenne, mais ça donnerait une idée). Seulement comment avoir l'écart type sans les données ?

Merci pour votre aide.
-----

[pallas]

attention la moyenne ne correspond pas a la mediane !

[danyvio]

Avec les données dont on dispose, on peut simplement dire :

Le total des points de tous les candidats est 1254*8=10.032
Les candidats reçus ont tous une note > 14 donc totalisent > que 14*323 soit > 4522
Et que 11 candidats totalisent 0 * 11=0
A exploiter ...

[Gabriel]

J'ai essayé de bidouiller les données du problèmes, et voici le résultat de mes réfléxions.
Quelqu'un aurait-il une démonstration plus solide ?

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1°) Supposons pour simplifier le problème, que les notes des candidats
soient réparties d'une manière linéaire.
Autrement dit la courbe de répartition du nombre de candidats en
fonction des notes ressemble à un chapeau pointu, et non pas à une
courbe en cloche.
1°a) Supposons que la médiane des notes soit m=10
Le chapeau s'étale donc de 0 à 20 avec un maximum pour x=10
De 0 à 10, y=x
De 10 à 20 y=-x
On peut diviser les notes en 4 "quartiles" :
313 candidats ont de 0 à 5
313 candidats ont de 5 à 10
313 candidats ont de 10 à 15
313 candidats ont de 15 à 20

L' "écart-type" est égal à s=5

Il y a 1254 candidats.
323 candidats ont été admis.
Cherchons à quelle note minimale correspond le dernier admis :

323 / 1254 = 25,75 %

25,75 % x 20 = 14,84

Les notes des 323 admis s'étalent donc de 14,84 à 20
Le dernier admis a 14,84
Or Jean a eu 14
Donc Jean est recalé !
C'est normal avec les hypothèses qu'on a pris.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1°b) Prenons la même courbe en forme de chapeau pointu, mais centrée sur m=8
Gardons la même allure à cette courbe, c'est à dire le même "écart-type" s=5
Alors on voit que les notes s'étalent de -2 à 18
Tout est décalé vers la gauche de x=2
Donc les notes des 323 admis s'étalent de 12,84 à 18
Or Jean a eu 14
Donc Jean est admis !

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2°)a) Considérons la vrai répartition des notes en forme de cloche,
centrée sur m=10
Les notes s'étalent de 0 à 20
On sait que :
50% des candidats sont répartis sur m - 2/3 s et m + 2/3 s
68% des candidats sont répartis sur m - s et m + s
95% des candidats sont répartis sur m - 2s et m + 2s
99,7% des candidats sont répartis sur m - 3 s et m + 3 s

On peut approximer 99,7% à 100 %
C'est à dire que les 1254 candidats ont une note entre 10-3s et 10+3s
C'est à dire entre 0 et 20.
Par symétrie de la courbe en cloche, 627 candidats ont une note entre
10 et 20

On peut donc écrire 10 + 3s = 20

D'où l'on déduit s = 3,33

En reprenant l'égalité : 50% des candidats sont répartis sur m - 2/3 s
et m + 2/3 s
c'est à dire 627 candidats entre 7,77 et 12,22

Au total on en déduit que :
313 candidats ont entre 0 et 7,77
313 candidats ont entre 7,77 et 10
313 candidats ont entre 10 et 12,22
313 candidats ont entre 12,22 et 20

Or 323 candidats ont été admis.
Jean ayant obtenu 14, il est nécessairement parmi les 313 candidats
situés parmi le 4ième quartile situé entre 12,22 et 20.

Donc Jean est admis !

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2°b) Plaçons-nous dans les conditions du problème où la médiane m=8

Supposons que la courbe en cloche aît la même allure que précédemment,
c'est à dire s = 3,33
La courbe est décalée de 2 crans vers la gauche.
On en déduit que les notes s'étalent entre -2 et +18
8 -10 = -2
8 +10 = 18
Les 313 candidats situés dans le 4ième quartile ont donc une note
située entre 10,22 et 18
Jean ayant obtenu 14 est admis !
______________________________ ______________________________ _______________

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Avec des suppositions sur la répartition des notes, il est difficile de conclure (puisque ce sont des suppositions. L'idée de répartition gaussienne est totalement absurde pour un concours (et incohérente avec l'existence de 11 notes 0).
D'ailleurs la répartition :
323 à 16 ou plus (en moyenne 17)
7 à 15
10 à 14
280 entre 7 et 13 (moyenne 10)
300 entre 1 et 6 (moyenne 5)
334 à 0
donne une moyenne de 8 et jean est 331-ième ex-aequo.

Donc aucun argument statistique ne permet de conclure. Cependant, jean a tout intérêt à faire une réclamation et à demander quelle est la barre d'admission

Cordialement.

NB : Quel mauvais exercice de statistique !!!

[Gabriel]

Mais je reste sur ma faim ! ...

J'ai essayé une autre méthode : en supposant que la répartition des notes soit gaussienne, c'est à dire y = (1/rac(2 pi))exp (-x2) (de mémoire) , avec axe des x = les notes obtenues, et axe des y = le nombre de candidats ayant obtenu la note x ,
on peut exprimer x en fonction de y.
Puis chercher la valeur x qui correspond à y = 323 , c'est à dire la note minimale pour être admis.

En prenant le logarithme népérien des 2 membres de l'équation, j'arrive à un résultat abérant :
x2 = - 36 (environ)

d'où x = 6i (environ) avec i=rac(-1)

Je patauge lamentablement ...

[Gabriel]

Merci Danyvio et ggO pour vos réponses.

ggO : On peut admettre que les résultats se répartissent selon une courbe en cloche de gauss, symétrique de part et d'autre de la médiane, mais tronquée pour x=0 .
Puisque Jean connait au moins 11 candidats qui ont 0, y =11 (et sans doute plus encore) pour x=0.

[gg0]

Effectivement,

on peut supposer...

Mais ce n'est pas " on s'appuiera sur des calculs statistiques", c'est "on fera ce qui est simple à calculer avec les modèles simples même lorsqu'ils ne s'appliquent pas".

Cette façon d'enseigner les statistiques est très malsaine. C'est à peu près comme enseigner l'algèbre en collège en n'utilisant que la linéarité, même pour la fonction sinus.

Pour ma part, je refuserais de faire cet exercice au delà de "il est possible qu'il y ait erreur, mais il n'est pas impossible qu'il ne soit pas dans les 323 premiers.

Si l'auteur de l'exercice était un peu sérieux, il aurait pris un examen, pas un concours et précisé qu'on peut admettre une répartition gaussienne (contrairement à ce qu'affirme Antibi, il arrive que la répartition soit très différente - Dans un concours, c'est généralement le cas). Ou bien un classement final d'école d'ingénieur.

Cordialement.

[kinette]

Bonjour,
Quand vous aurez la "solution", n'oubliez pas de nous en faire profiter.
J'aime beaucoup votre démarche de tester différentes répartitions: la répartition des notes est effectivement l'inconnue, qui empêche de décider quoi que ce soit.
Espérons que c'est le but de cet exercice (montrer que beaucoup de tests se basent sur une répartition théorique, et qu'il faut de bonnes raisons pour choisir ce type de répartition...).

Bien cordialement,
K