Bonjour à tous,
Voilà j'ai mis pas mal de temps à comprendre quand une fonction était continue, notamment sur un intervalle ouvert,je pense avoir compris maintenant, mais je veux en être sûr. En pièce jointe il y a la photo de plusieurs fonctions que j'ai tracées sur tableau blanc, où j'ai indiqué leur domaine de définition, quand elles étaient continues...
Vous pouvez vérifier que j'ai pas écrit n'importe quoi ?
Merci
Bonjour et bienvenue sur FuturaSciences
Ta pièce jointe est en attente de validation, donc je te demande un peu de patience avant qu'on puisse te répondre.
Bonsoir,
Attention à tes crochets dans le 2) :
En effet quand tu écris : Continue ]a,c[ U [c,b] --> Cette union = [a,b] et ta fonction n'est pas continue en c.
De plus elle est quand même continue à gauche en b.
Dernière modification par PlaneteF ; 05/04/2012 à 00h25.
CORRECTION --> En rougeEnvoyé par PlaneteF
Merci pour ta réponse
Si je résume (pour le 2) :
continuité sur ]a,c[ -> OK
continuité à droite seulement, en c ; à gauche, en b -> continuité sur [c,b] (?)
-> continuité sur ]a,c[ U [c,b] (?)
De façon plus générale si j'ai une continuité sur deux intervalles I et J est-ce que j'ai continuité sur I U J (en l’occurrence ici I=]a,c[ et J=[c,b])
Dans ce cas peut-on passer de cette union à un intervalle plus grand du type ]a,b] privé de {c} ?
Dans le 3) ça me paraît juste de faire ça car c n'est inclus ni dans ]a,c[ ni dans ]c,+inf[
Mais dans le 2) que faire car c n'est pas inclus dans ]a,c[ mais l'est dans [c,b]
Donc en gros j'ai deux interrogations, à savoir dans quels cas :
-Passer de deux intervalles à une union.
-Passer d'une union à un seul intervalle plus grand (éventuellement privé d'un élément).
Voilà j'espère quand même avoir été assez clair
Pardon, oubliez pour le 3) c'est le même cas que le 2), mais par contre ça marche pour x->1/x en 0 ?
PS: C'est impossible d'éditer le message plus de 5 minutes après l'avoir écrit ?
Bonjour,Merci pour ta réponse
Si je résume (pour le 2) :
continuité sur ]a,c[ -> OK
continuité à droite seulement, en c ; à gauche, en b -> continuité sur [c,b] (?)
-> continuité sur ]a,c[ U [c,b] (?)
De façon plus générale si j'ai une continuité sur deux intervalles I et J est-ce que j'ai continuité sur I U J (en l’occurrence ici I=]a,c[ et J=[c,b])
Dans ce cas peut-on passer de cette union à un intervalle plus grand du type ]a,b] privé de {c} ?
Dans le 3) ça me paraît juste de faire ça car c n'est inclus ni dans ]a,c[ ni dans ]c,+inf[
Mais dans le 2) que faire car c n'est pas inclus dans ]a,c[ mais l'est dans [c,b]
Donc en gros j'ai deux interrogations, à savoir dans quels cas :
-Passer de deux intervalles à une union.
-Passer d'une union à un seul intervalle plus grand (éventuellement privé d'un élément).
Voilà j'espère quand même avoir été assez clair
D'une manière générale (et là je ne me base pas particulièrement sur tes exemples), étudier la continuité sur un intervalle [a,b] revient à :Se poser la question de la continuité à gauche en a ou à droite en b sur un intervalle [a,b] n'a pas de sens puisque l'on se situe "hors intervalle".
- Etudier la continuité à droite et à gauche (donc la continuité "tout court") pour tout élément de ]a,b[ ;
- Etudier la continuité à droite en a ;
- Etudier la continuité à gauche en b ;
Ceci étant dit, appliquons cela à tes questions :
Continuité sur ]a,c[
--> Oui, et on ne se pose pas la question en a et c qui sont hors intervalle.
Continuité sur [c,b]
--> Continue sur ]c,b[ = oui
--> Continue à droite en c = oui
--> Continue à gauche en b = oui
--> DONC continue sur [c,b] = oui
Continuité sur ]a,c[ U [c,b]
--> Puisque ]a,c[ U [c,b] = ]a,b] la réponse est non car non continue en c qui appartient à ]a,b].
Donc ce n'est pas parce que ta fonction est continue sur I et I' qu'elle est forcément continue sur I U I', tu as le contre-exemple ci-dessus !
Dernière modification par PlaneteF ; 05/04/2012 à 12h17.
Ok ! Et j'imagine que c'est pareil pour la dérivée (?) :
f dérivable sur [a,b] si :
*f dérivable sur ]a,b[ i.e lim [f(x)-f(a)]/(x-a) quand x-->a est finie
*f dérivable à droite en a, idem pour x-->a+
*f dérivable à gauche en b...
Mais pour trouver le domaine de dérivabilité d'une fonction c'est souvent plus simple de calculer la dérivée et de trouver son domaine de définition non ?
On ne peut pas parler de continuité sur une réunion d'intervalles.
"f continue sur ]a,c[U]c,b[" ou "f continue sur ]a,b[\{c}", ça ne se dit pas.
On dira plutôt "f continue sur ]a,c[ et ]c,b[".
Oui
Rigoureusement parlant ce n'est pas correct ! ... Il ne faut pas oublier qu'une condition nécessaire (mais non suffisante) de dérivabilité, est la continuité.
Prenons un exemple tout simple, soit f définit comme suit :
Si x>=0, f(x)=1
Si x<0, f(x)=-1
Si tu mets la charrue avant les boeufs en te disant je dérive d'abord puis je statue ensuite sur la dérivabilité, tu vas raisonner en disant :
Si x>=0, f'(x)=0
Si x<0, f'(x)=0
donc pour tout x, f'(x)=0, ... donc le domaine de définition de f' est R, donc f est dérivable sur R.
Ce qui est faux puisque f n'est pas continue en 0, donc non dérivable en 0 !
Dernière modification par PlaneteF ; 05/04/2012 à 22h02.
Je vais chipoter un petit peu, ... sauf si la réunion d'intervalles donne un intervalle (comme ]a,c[ U [c,b] = ]a,b]), ...
... mais dans ce cas, et là je vais effectivement rejoindre complètement ce que tu dis, on l'écrira directement comme un intervalle, en l'occurrence ]a,b], et non pas comme une union ...
Effectivement ...
Dernière modification par PlaneteF ; 05/04/2012 à 22h17.
Oui je comprends, le domaine de dérivabilité est inclus dans le domaine de continuité lui-même inclus dans le domaine de définition...
Néanmoins pour des fonctions usuelles, et des composées de fonctions usuelles, dont on connaît l'expression de f',etc. cela ne suffit pas de regarder le domaine de définition de f' ? (x->x1/2 par exemple donne la non dérivabilité en 0)
Par contre j'ai l'impression que c'est les fonctions qui ont plusieurs expressions suivant les intervalles (comme celle que tu as pris en exemple) qui posent problème, dans ce cas, privilégier l'étude complète ?
Je vais rectifier la remarque ce que j'ai faite plus haut sur ce message :
En fait quand on exprime un domaine (ou ensemble) de définition, continuité ou dérivabilité, on le fait toujours sous la forme d'un intervalle ou d'une union d'intervalles, et qui peuvent être aussi privés de un ou plusieurs éléments.
D'ailleurs quand on écrit que f est continue sur R*, on ne fait qu'écrire que f est continue sur ]-inf,+inf[\{0} ou ]-inf,0[U]0,+inf[, ... ces 3 écritures étant équivalentes.
Dernière modification par PlaneteF ; 05/04/2012 à 23h54.
