Statistiques : Moyenne & Variance en fonction de x

[invite488efc8d]

Bonjour àtous,

Je suis actuellement bloqué sur un exercice qui au premier abord m'a paru simple mais qui se révèle en réalité plus dur.

Mon sujet étant :
Soit x un réel positif. On considère la série statistique :
1 - 2 - 8 - x
Soit m(x) la moyenne de cette série statiqtique.
1. Exprimer m(x) en fonction de x.
2. Soit V(x) la variance de cette série statistique. Exprimer V(x) en fonction de x.

Pour l'instant j'ai trouvé m(x)=(11+x)/4
Et en guise de Variance, j'obtiens V(x)=(15/16)x² + (330/16)x + (1815/16) ce qui donnerais en théorie, une variance de 135 pour x=1, et cela m'étonnes.

Voilà, si quelqu'un peut m'éclairer et/ou me corriger, ce serait avec grand plaisir.
Merci beaucoup de votrer attention
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[Jon83]

Bonjour!

Le calcul de la moyenne est juste;
par contre, celui de la variance est faux...

[fiatlux]

Salut

Ta moyenne est juste. Ta variance semble en effet fausse. Qu'est-ce que tu as fait comme calcul pour arriver à ça ?
pour rappel:

[invite488efc8d]

Merci beaucoup à vous deux. Pour te répondre Fiatlux :

Alors, pour calcul, j'avais fait :

var(x)=1/4 [somme(ni*xi²)] - m(x)²

Sauf que j'avais considéré que ni=4 or c'est faux puisqu'il est égal à 1 n'est-ce pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite488efc8d]

J'ai refait le calcul, et j'ai trouvé : (363+64x+3x²)/16, est-ce que cela est exact ?

[Jon83]

je trouve (1/12)(3x²-22x+155) .... (vérifié avec WolframAlfa http://www.wolframalpha.com/input/?i...2%2C+8%2C+x%29)

[invite488efc8d]

Okay, merci beaucoup pour la réponse, par contre, je ne comprends pas trop comment on en arrive à cette formue, est-ce que vous pourriez me l'expliquer s'il vous plait ? :$

[fiatlux]

ça devrait effectivement être ni=1. En fait chaque échantillon parmi [1,2,8,x] a une probabilité ni. Si rien n'est spécifié, on suppose qu'ils sont équiprobable, donc n1=n2=n3=n4=1/4. Donc si t'as déjà mis le facteur 1/4 en évidence, ta variance est

Jon je trouve (1/16)(3x²-22x+155), et c'est ce qu'on obtient avec les deux définitions de la variance telles que données ci-dessus.
J'ai testé avec Matlab, si je mets var(y) ça me donne un résultat qui confirme ce que tu dis. Si je mets var(y,[0.25, 0.25, 0.25, 0.25]), ça confirme mon résultat à moi... La variance telle que tu la calcules ne part pas du principe que les 4 échantillons sont équiprobables ? Quelle définition de la variance tu as utilisé ?

[invite488efc8d]

D'accord, je comprends mieux, merci beaucoup !

Je suis en première, je n'ai pas encore vu les notions d'équiproquabilité. J'ai encore utilisé la formule, V(x)=1/4 [somme(ni*xi²)] - m(x)² parce que c'est celle que je maîtrise le mieux. Une petite précision, si je comprends bien xi est la somme des carré des différentes valeurs, c'est cela ?

[Jon83]

ça devrait effectivement être ni=1. En fait chaque échantillon parmi [1,2,8,x] a une probabilité ni. Si rien n'est spécifié, on suppose qu'ils sont équiprobable, donc n1=n2=n3=n4=1/4. Donc si t'as déjà mis le facteur 1/4 en évidence, ta variance est

Jon je trouve (1/16)(3x²-22x+155), et c'est ce qu'on obtient avec les deux définitions de la variance telles que données ci-dessus.
J'ai testé avec Matlab, si je mets var(y) ça me donne un résultat qui confirme ce que tu dis. Si je mets var(y,[0.25, 0.25, 0.25, 0.25]), ça confirme mon résultat à moi... La variance telle que tu la calcules ne part pas du principe que les 4 échantillons sont équiprobables ? Quelle définition de la variance tu as utilisé ?

Oui, tu as raison, ton résultat est juste!!! le calcul se fait bien avec le coefficient 1/n devant la somme.
Mais il faut savoir que les logiciels de calcul propose deux type de variance: la variance standard telle que tu l'utilises ici, et la variance sans biais (ou variance d'une population) qui prend le coefficient 1/(n-1)... et, manque de bol, WolframAlpha prend cette définition par défaut!!!! Il suffit de cliquer sur "samplevariance" pour corriger!!!

[fiatlux]

Si tous les échantillons sont équiprobables, alors :

car

Si les échantillons ne sont PAS équiprobables, alors :


L'espérance est la généralisation de la moyenne. La moyenne égale l'espérance quand les échantillons sont équiprobables. Mais si tu avais les probabilités [n1, n2, n3, n4] = [0.1, 0.3, 0.4, 0.2] pour [1, 2, 8, x] respectivement, ils ne sont donc pas équiprobables, et tu aurais alors m = 0.1*1 + 0.3*2 + 0.4*8 + 0.2*x au lieu de m = 0.25*1 + 0.25*2 + 0.25*8 + 0.25*x, par exemple.

@Jon: ah oui ce facteur 1/(n-1).... ben Matlab fait comme WolframAlpha... le salaud ^^ Ils auraient dû mettre 1/n par défaut je trouve

[Jon83]

En définitive, la manip est positive: elle permet de bien préciser les définitions théoriques!!!!!

[fiatlux]

Ouep, effectivement Depuis le temps que j'utilise Matlab, je découvre seulement maintenant qu'ils utilisent cette définition-là de la variance.... damned.

[Jon83]

Voici un bon document d'explication http://www.modulad.fr/archives/numer...Grenier-37.pdf

[fiatlux]

Uhm.. oui ça me rappelle des choses... mais ils n'expliquent pas vraiment à quoi c'est dû. "L’écart-type de l’échantillon peut prendre diverses valeurs s, qui tantôt sous-estiment, tantôt surestiment σ . On pourrait penser que ces valeurs sont centrées sur σ . Ce n’est pas le cas."
Effectivement apparemment lorsqu'on estime la variance à partir de données expérimentales, il y a ce biais (du coup c'est effectivement plus logique de corriger ce biais, je retire ce que j'ai dit sur Matlab ^^), mais concrètement je ne vois pas vraiment pourquoi...

[invite488efc8d]

Nikel, merci beaucoup Jon, je comprends mieux pourquoi les résultats divergent !
Merci Fiatlux pour l'explication du terme "équiproquable" je comprends bien ce que tu veux dire !

En bref, merci beaucoup à vous 2 !!