Intersection de deux cercles

[zyket]

Bonjour,

suite au post de Pakos "Repère orthonormé", je me pose une question : lorsque deux cercles, dont on connait les équations cartésiennes, sont sécants en deux points, comment se fait-il qu'en résolvant le système d'équations je ne trouve pas les coordonnées des points d'intersections, mais uniquement l'équation de la droite contenant ces deux points. Je suppose qu'à un moment donné de la démonstration l'équivalence n'est plus possible et laisse la place à une implication, mais quand ? et est-ce bien ça ?

Exemple : soit Ca, le cercle de centre A(1;1) et de rayon 4 et Cb, le cercle de centre B(7;4) et de rayon racine de 10



En développant les équations de Ca et Cb on obtient :



En soustrayant Cb à Ca (Est-ce ici qu'on passe à une implication ?), on obtient :


d'où équation de la droite contenant les deux points d'intersections, mais qui ne me donne pas leurs coordonnées.

Comment à partir des équations cartésiennes de Ca et Cb trouver les coordonnées des points d'intersections ?

Merci de m'éclairer.
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[PA5CAL]

Bonsoir

L'équation 2x+y=23/2 permet d'exprimer y en fonction de x.

Il faut ensuite reportant cette expression de y dans l'une des équations de départ afin de trouver une équation du second degré ne faisant apparaître que x.

En résolvant celle-ci, on trouve les deux valeurs de x correspondant aux deux intersections.

On déduit enfin les valeurs de y correspondantes à l'aide de l'expression de y en fonction de x.

[gg0]

Zyket,

lorsque tu passe des deux équations de cercle à l'équation d'une droite (*) tu fais une implication. Tu serais d'ailleurs bien en peine de déduire les deux équations de cercles de l'équation d'une droite.

Cordialement.

(*) Qui ne coupe pas les cercles lorsqu'ils ne sont pas sécants. Cette droite est "l'axe radical" des deux cercles.

[zyket]

Mais c'est bien sûr ! Merci.

Pour revenir à l'exo de Pakos, si cet exo consistait à trouver les coordonnées de C, un des points d'intersection, je trouve la démarche proposée un peu compliquée alors que celle de PA5CAL est on ne peut plus simple.
Si l'exo consistait à utiliser la formule d'Al Kashi, pourquoi pas.

(Mais qui suis-je pour me permettre des réflexions sur des exos de math)

[A voir en vidéo sur Futura]

[PA5CAL]

Il me semble qu'on devrait trouver 2x+y=21/2 , et non pas 2x+y=23/2 .

[gg0]

Zyket,

l'exo de Pakos avait d'autres buts; c'est évident d'après l'énoncé. Un exo peut aboutir à un résultat sans que ce soit son but : Un exercice est fait pour permettre à ceux qui le font de bien comprendre les techniques "traditionnelles", d'apprendre mieux le cours en l'utilisant, de développer les capacités calculatoires par la répétition des calculs, ...

Cordialement.