Intersection de cercles

[invite3d2daf0a]

Bonjour,

Pour un exercice je dois déterminer l'équation du cercle passant par A(1;-1) et par les points d'intersections des équations de cercles suivantes: x²+y²+2x-2y-23=0
x²+y²-6x+12y-35=0

Je me suis dit qu'il fallait résoudre ce système en isolant x ou y pour trouver les intersections ( pour trouver l'équation du cercle je n'ai pas de problèmes une fois que j'ai les points)

problème ce n'est pas une réponse facile que je trouve en ayant isolé x: x= (14y-12)/4=0

et quand je remplace ça dans le formule je tombe sur des chiffres à virgules horribles alors que la réponse de l'équation du cercle passant par ces points est : x²+y²+6x-9y-17=0


Merci de m'aider ^^
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[hhh86]

Soit C1 le cercle d’équation x²+y²+2x-2y-23=0 et C2 le cercle d’équation x²+y²-6x+12y-35=0
On note E l’ensemble des points d’intersection de C1 et C2.
M(x ;y) appartient à E si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation de C1 et l’équation de C2
On a donc le système suivant :

x²+y²+2x-2y-23=0
x²+y²-6x+12y-35=0

<=>
2x-2y+6x-12y+35-23=0
x²+y²-6x+12y-35=0

<=>
8x-14y+12=0
x²+y²-6x+12y-35=0

<=>
4x-7y+6=0
16x²+16y²-96x+192y-560=0

<=>
4x-7y+6=0
(7y-6)²+16y²-24(7y-6)+192y-560=0

<=>
4x-7y+6=0
65y²-84y+36-168y+144+192y-560=0

<=>
4x-7y+6=0
65y²-60y-380=0

<=>
4x-7y+6=0
13y²-12y-76=0

Résolvons l’équation 13y²-12y-76=0 dans IR :
Calculons le discriminant de ce trinôme :
Δ=b²-4ac avec a=13, b=-12 et c=-76
Δ=144+3952=4096>0 donc l’équation a deux solutions réelles :
y1=(-b-√Δ)/2a=(12-64)/26=-52/26=-2
y2=(-b+√Δ)/2a=(12+64)/26=76/26=38/13

Par conséquent le système est équivalent à :
y=-2 e x=-5
ou y=38/13 et x=47/13

Soit B(-5 ;-2) et C(47/13 ; 38/13)
E={B,C}

Soit A(1 ;-1)
Soit C3 le cercle passant par A, B et C qui existe puisque A, B et C ne sont pas alignés puisque AB et AC ne sont pas colinéaires (évident)

On appelle I(x ;y) son centre. On a alors AI=BI=CI
<=>AI=BI et AI=CI
<=>AI²=BI² et AI²=CI²
<=>(x-1)²+(y+1)²=(x+5)²+(y+2)² et (x-1)²+(y+1)²=(x-47/13)²+(y-38/13)²
<=>x²-2x+1+y²+2y+1=x²+10x+25+y²+4y+4
et x²-2x+1+y²+2y+1=x²-94x/13+2209/169+y²-76y/13+1444/169
<=>12x+2y+27=0
et 68x+102y-255=0
<=>612x+102y+1377=0
et 68x+102y-255=0
<=>544x+1632=0
et 68x+102y-255=0
<=>x=-1632/544=-3
et y=(-12x-27)/2=9/2

Donc I(-3 ;9/2)

C3 est l’ensemble des points M(x ;y) du plan tels que IM=IA
<=> IM²=IA²
<=> (x+3)²+(y-9/2)²=(1+3)²+(-1-9/2)²
<=> x²+6x+9+y²-9y+81/4=16+1+9+81/4
<=> x²+y²+6x-9y-17=0

Une équation cartésienne de C3 est donc x²+y²+6x-9y-17=0

[invite3d2daf0a]

Wow. Merci pour cette résolution. ^^ Je n'en demandais pas temps! :O

Il y a juste un bout que je ne comprends pas c'est celui-ci :

<=>
4x-7y+6=0
16x²+16y²-96x+192y-560=0

<=>
4x-7y+6=0
(7y-6)²+16y²-24(7y-6)+192y-560=0

je ne comprends pas pourquoi 4x= 7y-6 ça peut remplacer 16x². Enfin je vois bien que tu as mis au carré le 4x

mais comment tu passes de ça :

<=>
8x-14y+12=0
x²+y²-6x+12y-35=0

<=>
4x-7y+6=0
16x²+16y²-96x+192y-560=0

Parce que celle d'en haut tu divises par 2 et celle d'en dessous je ne vois pas.

Enfin je ne suis pas sûr d'être clair dans ma demande

[hhh86]

On multiplie par 16 mais tu peux procéder par substitution, ce sera peut-être plus simple à comprendre

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3d2daf0a]

Ouais mais la substitution avec ces fractions c'est embêtant je préfère ta méthode je ne comprends juste pas pourquoi la multiplication par 16.

[hhh86]

on sait que 4x=7y-6

Donc 16x²=(7y-6)² ==> c'est pour éviter les fractions
et 16x=4(7y-6)

[invite3d2daf0a]

Pas bête! Je suis toujours trop aveugle en maths et ne pense jamais à des choses du genre ! En tout cas merci pour ton aide.

[hhh86]

Bonne continuation

[invite3d2daf0a]

Merci à toi aussi