Racine complexe

[Sim_0n]

bonjour, je n'arrive pas à trouver les racines de :

z4−(16√2/1-i)=0

Merci.

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[Jon83]

bonjour, je n'arrive pas à trouver les racines de :

z4−(16√2/1-i)=0

Merci.


Bonjour!

C'est j'imagine?

[Sim_0n]

oui, je n'arrivais pas à l'écrire correctement donc je l'ao fais ainsi. Désolé ^^.

[Jon83]

OK!
Je te conseille de faire les opérations suivantes:
1) simplifie l'expression en utilisant l'expression conjuguée du dénominateur
2) ensuite tu fais le changement de variable Z=z²; tu auras alors une équation du 2ème degré dont tu sais trouver les deux racines; pense à utiliser i²=-1 et les propriétés des puissances fractionnaires pour avoir des expressions simples
3) ensuite, connaissant Z, il ne resteras plus qu'à résoudre z²=Z pour trouver les 4 racines de ton équation d'origine
NB compte tenu que le coefficient de z est nul (donc réel), les racines doivent être conjuguées deux à deux...

Au travail

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sim_0n]

Je n'y arrive pas

[Jon83]

Je n'y arrive pas

Montres nous déja ce que tu as fait pour le 1)....!

[Jon83]

Bonjour!

Franchement, multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée de dénominateur et simplifer tu dois savoir faire, non? En quelle classe es-tu?

[Sim_0n]

Je pense avoir trouvé, j'ai fais ceci:
J'ai transformé z**4 en 8√2-8√2i.
J'ai ensuite calculé le module de z qui vaut 16 de là, je trouve son argument qui vaut 7pi/4
Ensuite, j'en déduis l'argument de z**4 qui vaut 7pi/16 + 2kpi/4 avec son module qui vaut 2
Et j'obtiens donc zk= 2.e**i(7pi/4 + 2kpi/4) avec k=0,1,2,3

** veut dire "exposant".
Et je suis en Bac1 médecine.

[Jon83]

Je ne sais pas si on te demande le résultat sous cette forme?

Une autre possibilité:


L'équation devient

Si on pose Z=z² on a

Je te laisse résoudre cette équation du second degré élémentaire qui ne devrait pas te poser de problème?

NB: pour simplifier le résultat des racines, tu peux utiliser les propriétés (n et m étant entiers):

et

[Jon83]

Et j'obtiens donc zk= 2.e**i(7pi/4 + 2kpi/4) avec k=0,1,2,3
** veut dire "exposant".
Et je suis en Bac1 médecine.

C'est quoi Bac1 médecine? 1ère année de médecine, donc niveau bac?

[Sim_0n]

Oui on me le demandais sous cette forme, je ne savais pas qu'il y avait un autre moyen ^^.

[Sim_0n]

C'est quoi Bac1 médecine? 1ère année de médecine, donc niveau bac?

Oui, c'est cela.

[Jon83]

Si on pose Z=z² on a

Je te laisse résoudre cette équation du second degré élémentaire qui ne devrait pas te poser de problème?

NB: pour simplifier le résultat des racines, tu peux utiliser les propriétés (n et m étant entiers):

et

Tu dois trouver deux solutions en Z:





et de Z=z² tu trouves les 4 solutions en z:









Ta solution sous forme exponentielle est plus courte...Tout dépend de ce que l'on te demande!

[Jon83]

Je pense avoir trouvé, j'ai fais ceci:
J'ai transformé z**4 en 8√2-8√2i.
J'ai ensuite calculé le module de z qui vaut 16 de là, je trouve son argument qui vaut 7pi/4
Ensuite, j'en déduis l'argument de z**4 qui vaut 7pi/16 + 2kpi/4 avec son module qui vaut 2
Et j'obtiens donc zk= 2.e**i(7pi/4 + 2kpi/4) avec k=0,1,2,3

** veut dire "exposant".
Et je suis en Bac1 médecine.

En vérifiant ta solution, je trouve

avec k=0, 1, 2, 3