Plop,
On me demande de chercher les racines carrés de 8+6i
Alors je cherche a et b ds Z pour que (a+ib)² = 8+6i
Je trouve donc une solution... comment toutes les trouver?
J'ai essayer en ayant a²-b²=8 et ab=3 , essayer de trouver la solution général pr a et b, mais je bloque :s
Ensuite on me demande pareil pr -11-2i d'en trouver les racines cubiques
Cordialement, Universmaster.
(a+ib)² = 8+6i
a²-b²=5
2ab=6
a=3/b
a²-b²=5
a=3/b
9/b²-b²=5
a=3/b
9-b^4=5b²
et on résout la second équation en posant B=b².
Ceci dit, la méthode de "référence", c'est en se servant aussi du module :
a²+b²=||8+6i||=racine(48+64)
et en l'ajoutant et la soustrayant à l'équation a²-b²=....
Thorin.
Envoyé par Thorin
??? a²_b² = 8 par identification non ?
"Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg
Ouais, j'ai lu autre chose entre temps,ça m'a fait changer de nombre^^
Une précision importante :
Tout nombre complexe non nul z possède n racine n-ème.
Par contre, petite question, en reprenant l'exemple précédent :
z=8+6i, dans le système on obtient a²-b²=racine(100)
J'ai pris racine(100)=10 tout le long et j'ai obtenu les deux racines carrés de z, mais travaillant dans C, dois-je trimballer tout le long a²-b²=|10| ???
+++
"Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg
Pas compris la question, ni d'où venait le racine(100)
Bon, faut que j'appelle les pompiers, ya un gars qui est en train de se suicider là où jbosse
bonne nuit,
Thorin.
Ok c'est vrai... j'suis bête
Je fatigue aussi un peu
Merci ^^
ba , a²+b²=racine(8²+6²)=racine(100 ) (en passant par les modules)
conclusion, a²+b² = 10 direct ou alors |10| ???
C'est sérieux l'histoire du suicide la ? (pasque t'a l'air d'en rire plus qu'autre chose
+++
"Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg
lol ouais il vient d'ou ton racine de 100? de la fatigue? ^^
Tout nb complexe admet n racine n-ième. c'est un thm ça? toujours vrai? donc toujours utilisable?
EDIT: Nan en fait c'est moi la fatigue :s:s j'me tais (pour le post précédent)
quand tu résous tu obtiens a²+b²=100 et a²-b²=8, je vois pas ou il y a une racine de 100 :/
Par contre pour trouver toutes les racines cubiques de -11-2i, si quelqu'un à des idées
(tout le monde dors?
pour les racines cubiques d'un complexe, la seule méthode générale que je connaisse c'est d'utiliser la formule générale avec la forme trigonométrique du complexe, ici je ne pense pas que ca soit adapté à ton problème, tout dépend de ce que tu veux faire de cette racine après.
C'est juste un exo de base ou on demande de trouver les racines cubiques de -11-2i
dans ce cas la je ne vois a priori pas de méthode immédiate, je vais y réfléchir un peu.
Par contre je dois rectifierc ce que j'ai dit plus haut, on trouve en effet a²+b²=sqrt(100) en égalisant les modules, et du coup pour répondre à galaxie ca fait bien 10 puisque on travaille ici sur des réels.
As-tu essayé d'utiliser la forme exponentielle ? Si on notePar contre pour trouver toutes les racines cubiques de -11-2i, si quelqu'un à des idéesune racine cubique de
La dernière équivalence vient du fait que deux nombres complexes sont identiques ssi ils ont le même module et leurs arguments sont congrus modulo
L'équation (1) doit te donner une seule valeur de
Dernière modification par Flyingsquirrel ; 10/08/2008 à 23h15.
oui enfin comme je disais je pense pas que ca soit cette méthode la qui soit attendue, à moins d'être capable de calculer l'argument de -11-2i autrement qu'en disant que ca vaut pi + arctan (11/2)
Sauf , bien sûr.Tout nb complexe admet n racine n-ième. c'est un thm ça? toujours vrai? donc toujours utilisable?
Mais sinon, oui.
Exo : démontre-le.
Sauf 0, bien sûr*
Comment on en arrive à l'arg vaut pi + arctan(11/2) ?
Par récurrence?
Bon vous avez pigé d'ou il sort se racine de de 100?
z²=8+i6
|z||z|=|8+6i|
a²+b²=racine(100)
....
donc d'après Hamb, on ne considère que la solution positive, puisqu'on travaille avec des réels...
Okay,,
merci
+++
"Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg
c'est géométrique, prends le bon triangle rectangle, et applique la formule de la tangente avec les axes...
tu peux essayer, mais le mieux, c'est, je pense, de passer par la forme exponentielle...
ah non pardon j'avais mal compris ce que tu demandais, si tu veux savoir pourquoi on ne prend pas -10 c'est tout simplement parce que sqrt(100) c'est le module de -11-2i, et quand on prend un module... bah on prend la racine tout simplement, et sqrt(100)=10
pour démontrer que l'argument de a+ib vaut arctan(b/a) modulo pi (pour un complexe ayant une partie réelle non nulle bien évidemment)
on peut aussi utiliser une méthode non géométrique :
On a donc en notant
donc en faisant le rapport :
d'ou le résultat (modulo pi car theta n'appartient pas forcément à l'intervalle de définition de arctan)
pour savoir la valeur modulo 2pi il faut utiliser le signe de la partie réelle, si elle est négative on rajoute pi (ce qui était le cas dans l'exemple)
Ok bien joué, merci Hambpour démontrer que l'argument de a+ib vaut arctan(b/a) modulo pi (pour un complexe ayant une partie réelle non nulle bien évidemment)
on peut aussi utiliser une méthode non géométrique :
On a donc en notant
donc en faisant le rapport :
d'ou le résultat (modulo pi car theta n'appartient pas forcément à l'intervalle de définition de arctan)
pour savoir la valeur modulo 2pi il faut utiliser le signe de la partie réelle, si elle est négative on rajoute pi (ce qui était le cas dans l'exemple)
Plus simple avec mon histoire de géométrie.
