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Racine d'un complexe



  1. #1
    Universmaster

    Racine d'un complexe

    Plop,

    On me demande de chercher les racines carrés de 8+6i

    Alors je cherche a et b ds Z pour que (a+ib)² = 8+6i
    Je trouve donc une solution... comment toutes les trouver?
    J'ai essayer en ayant a²-b²=8 et ab=3 , essayer de trouver la solution général pr a et b, mais je bloque :s

    Ensuite on me demande pareil pr -11-2i d'en trouver les racines cubiques

    Cordialement, Universmaster.

    -----

    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

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  3. #2
    Thorin

    Re : Racine d'un complexe

    (a+ib)² = 8+6i


    a²-b²=5
    2ab=6

    a=3/b
    a²-b²=5

    a=3/b
    9/b²-b²=5

    a=3/b
    9-b^4=5b²

    et on résout la second équation en posant B=b².

  4. #3
    Thorin

    Re : Racine d'un complexe

    Ceci dit, la méthode de "référence", c'est en se servant aussi du module :

    a²+b²=||8+6i||=racine(48+64)

    et en l'ajoutant et la soustrayant à l'équation a²-b²=....


    Thorin.

  5. #4
    GalaxieA440

    Re : Racine d'un complexe

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    (a+ib)² = 8+6i


    a²-b²=5
    2ab=6

    a=3/b
    a²-b²=5

    a=3/b
    9/b²-b²=5

    a=3/b
    9-b^4=5b²

    et on résout la second équation en posant B=b².

    ??? a²_b² = 8 par identification non ?
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  6. #5
    Thorin

    Re : Racine d'un complexe

    Ouais, j'ai lu autre chose entre temps,ça m'a fait changer de nombre^^

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    GalaxieA440

    Re : Racine d'un complexe

    Une précision importante :

    Tout nombre complexe non nul z possède n racine n-ème.

    Par contre, petite question, en reprenant l'exemple précédent :

    z=8+6i, dans le système on obtient a²-b²=racine(100)
    J'ai pris racine(100)=10 tout le long et j'ai obtenu les deux racines carrés de z, mais travaillant dans C, dois-je trimballer tout le long a²-b²=|10| ???

    +++

    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

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  10. #7
    Thorin

    Re : Racine d'un complexe

    Pas compris la question, ni d'où venait le racine(100)

    Bon, faut que j'appelle les pompiers, ya un gars qui est en train de se suicider là où jbosse

    bonne nuit,

    Thorin.

  11. #8
    Universmaster

    Re : Racine d'un complexe

    Ok c'est vrai... j'suis bête
    Je fatigue aussi un peu

    Merci ^^
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  12. #9
    GalaxieA440

    Re : Racine d'un complexe

    ba , a²+b²=racine(8²+6²)=racine(100 ) (en passant par les modules)
    conclusion, a²+b² = 10 direct ou alors |10| ???

    C'est sérieux l'histoire du suicide la ? (pasque t'a l'air d'en rire plus qu'autre chose )

    +++

    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  13. #10
    Universmaster

    Re : Racine d'un complexe

    lol ouais il vient d'ou ton racine de 100? de la fatigue? ^^
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  14. #11
    Universmaster

    Re : Racine d'un complexe

    Tout nb complexe admet n racine n-ième. c'est un thm ça? toujours vrai? donc toujours utilisable?


    EDIT: Nan en fait c'est moi la fatigue :s:s j'me tais (pour le post précédent)
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  15. #12
    Hamb

    Re : Racine d'un complexe

    quand tu résous tu obtiens a²+b²=100 et a²-b²=8, je vois pas ou il y a une racine de 100 :/

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  17. #13
    Universmaster

    Re : Racine d'un complexe

    Par contre pour trouver toutes les racines cubiques de -11-2i, si quelqu'un à des idées

    (tout le monde dors? )
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  18. #14
    Hamb

    Re : Racine d'un complexe

    pour les racines cubiques d'un complexe, la seule méthode générale que je connaisse c'est d'utiliser la formule générale avec la forme trigonométrique du complexe, ici je ne pense pas que ca soit adapté à ton problème, tout dépend de ce que tu veux faire de cette racine après.

  19. #15
    Universmaster

    Re : Racine d'un complexe

    C'est juste un exo de base ou on demande de trouver les racines cubiques de -11-2i
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  20. #16
    Hamb

    Re : Racine d'un complexe

    dans ce cas la je ne vois a priori pas de méthode immédiate, je vais y réfléchir un peu.
    Par contre je dois rectifierc ce que j'ai dit plus haut, on trouve en effet a²+b²=sqrt(100) en égalisant les modules, et du coup pour répondre à galaxie ca fait bien 10 puisque on travaille ici sur des réels.

  21. #17
    Flyingsquirrel

    Re : Racine d'un complexe

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    Par contre pour trouver toutes les racines cubiques de -11-2i, si quelqu'un à des idées
    As-tu essayé d'utiliser la forme exponentielle ? Si on note une racine cubique de (avec et ), vérifie


    La dernière équivalence vient du fait que deux nombres complexes sont identiques ssi ils ont le même module et leurs arguments sont congrus modulo . (ici et )

    L'équation (1) doit te donner une seule valeur de et l'équation (2) doit te fournir 3 valeurs de . Au final, on aura donc bien trois solutions.
    Dernière modification par Flyingsquirrel ; 10/08/2008 à 23h15.

  22. #18
    Hamb

    Re : Racine d'un complexe

    oui enfin comme je disais je pense pas que ca soit cette méthode la qui soit attendue, à moins d'être capable de calculer l'argument de -11-2i autrement qu'en disant que ca vaut pi + arctan (11/2)

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  24. #19
    Thorin

    Re : Racine d'un complexe

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    Tout nb complexe admet n racine n-ième. c'est un thm ça? toujours vrai? donc toujours utilisable?
    Sauf , bien sûr.

    Mais sinon, oui.

    Exo : démontre-le.

  25. #20
    Thorin

    Re : Racine d'un complexe

    Sauf 0, bien sûr*

  26. #21
    Universmaster

    Re : Racine d'un complexe

    Citation Envoyé par Hamb Voir le message
    oui enfin comme je disais je pense pas que ca soit cette méthode la qui soit attendue, à moins d'être capable de calculer l'argument de -11-2i autrement qu'en disant que ca vaut pi + arctan (11/2)
    Comment on en arrive à l'arg vaut pi + arctan(11/2) ?
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  27. #22
    Universmaster

    Re : Racine d'un complexe

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    Sauf , bien sûr.

    Mais sinon, oui.

    Exo : démontre-le.
    Par récurrence?
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  28. #23
    GalaxieA440

    Re : Racine d'un complexe

    Bon vous avez pigé d'ou il sort se racine de de 100 ?

    z²=8+i6
    |z||z|=|8+6i|
    a²+b²=racine(100)

    ....

    donc d'après Hamb, on ne considère que la solution positive, puisqu'on travaille avec des réels...

    Okay,,

    merci

    +++

    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  29. #24
    Thorin

    Re : Racine d'un complexe

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    Comment on en arrive à l'arg vaut pi + arctan(11/2) ?
    c'est géométrique, prends le bon triangle rectangle, et applique la formule de la tangente avec les axes...

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    Par récurrence?
    tu peux essayer, mais le mieux, c'est, je pense, de passer par la forme exponentielle...

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  31. #25
    Hamb

    Re : Racine d'un complexe

    ah non pardon j'avais mal compris ce que tu demandais, si tu veux savoir pourquoi on ne prend pas -10 c'est tout simplement parce que sqrt(100) c'est le module de -11-2i, et quand on prend un module... bah on prend la racine tout simplement, et sqrt(100)=10

  32. #26
    Hamb

    Re : Racine d'un complexe

    pour démontrer que l'argument de a+ib vaut arctan(b/a) modulo pi (pour un complexe ayant une partie réelle non nulle bien évidemment)
    on peut aussi utiliser une méthode non géométrique :

    On a donc en notant l'argument de a+ib entre 0 et 2pi :
    et
    donc en faisant le rapport :
    d'ou le résultat (modulo pi car theta n'appartient pas forcément à l'intervalle de définition de arctan)
    pour savoir la valeur modulo 2pi il faut utiliser le signe de la partie réelle, si elle est négative on rajoute pi (ce qui était le cas dans l'exemple)

  33. #27
    Universmaster

    Re : Racine d'un complexe

    Citation Envoyé par Hamb Voir le message
    pour démontrer que l'argument de a+ib vaut arctan(b/a) modulo pi (pour un complexe ayant une partie réelle non nulle bien évidemment)
    on peut aussi utiliser une méthode non géométrique :

    On a donc en notant l'argument de a+ib entre 0 et 2pi :
    et
    donc en faisant le rapport :
    d'ou le résultat (modulo pi car theta n'appartient pas forcément à l'intervalle de définition de arctan)
    pour savoir la valeur modulo 2pi il faut utiliser le signe de la partie réelle, si elle est négative on rajoute pi (ce qui était le cas dans l'exemple)
    Ok bien joué, merci Hamb
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  34. #28
    Thorin

    Re : Racine d'un complexe

    Plus simple avec mon histoire de géométrie.

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