Independance, incompatibilité et probabilité

[invite3b66be4b]

Bonjour, mon cours dit que si A et B sont incompatibles alors ils sont non indépendants. Et que si A et B sont indépendants alors A et B sont compatibles. J'aurai voulu savoir si les réciproques sont vraies?

merci d'avance
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[invite686731fa]

Non :

On jette deux dés, la variable X est le résultat obtenu au premier dé, et Y la somme des deux résultats obtenus aux deux lancers.
X et Y ne sont pas indépendantes (la probabilité de faire 6-12 est 1/36 qui n'est pas le produit des probabilités de faire 6 au premier lancer et 12 pour la somme). Pourtant ils sont compatibles.

Ce même exemple te prouve aussi que compatible n'implique pas forcément indépendants.

[invite686731fa]

En fait pour être plus clair, sans parler des variables aléatoires : l'événement "6 sort au premier dé" et " la somme des chiffres est 12" sont compatibles et non indépendants.

[invite3b66be4b]

Merci bien! Donc si je résume : si A et B sont incompatibles ils sont forcément dépendants. Si A et B sont compatibles ils peuvent être dépendants ou indépendants.

Si A et B sont indépendants ils ne peuvent être que compatibles? Et si A et B sont dépendants ils peuvent être compatibles ou incompatibles

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite686731fa]

Enfait la phrase "si A et B sont incompatibles alors ils sont non indépendants." est la contraposée de "si A et B sont indépendants alors A et B sont compatibles. " donc c'est la même

Sinon pour ton dernier message c'est juste en effet. Il faut te souvenir que incompatible signifie que leur intersection est vide, donc de probabilité 0, ils ne peuvent donc jamais être indépendants car 0 ne peut pas être le produit de deux nombres non nuls. (la définition de indépendants est que la proba de A n B est le produit des produits des probas de A et B)

[gg0]

Bonjour Shakyra.

La situation est à la fois plus simple et plus compliquée :

Plus simple : La notion d'événement incompatibles (et donc "compatibles" comme tu le dis) est liée à l'espace sur lequel un fait des probabilités ("l'univers"), et n'a rien à voir avec les probabilités. Deux événements sont incompatibles si leur intersection est vide (intuitivement, les événements ne peuvent pas se produire en même temps). Par exemple pour le jet d'un dé, "faire 1" et "résultat pair" sont des événements incompatibles. Si on représente l'univers par U={1;2;3;4;5;6}, le premier est A={1}, le deuxième B={2;4;6} et l'intersection de ces deux sous ensembles de U est vide.

La notion d'indépendance est elle liée à la loi de probabilité utilisée. A et B sont indépendants si . Reprenons le jet d'un dé, avec un dé "équilibré". Alors , et . Dans ce cas, les événements A et B ne sont pas indépendants. Par contre, pour un dé "pipé" de façon que le 1 ne sort jamais et le 6 sort une fois sur 3 (les autres sortant toujours une fois sur 6), on a , et . Dans ce cas, . A et B sont indépendants.

Plus compliquée :

Comme tu viens de le voir, des événements peuvent être incompatibles et indépendants. C'est le cas lorsque l'un a une probabilité nulle. D'autre part, la définition de l'indépendance a pour résultat que les événements (événement impossible) et U (événement certain) sont indépendants de tous les autres, y compris d'eux-même ! ça semble un peu "limite", mais ça sert effectivement dans une preuve difficile (loi du 1 ou 0).

En conclusion :

Dans un premier temps, laisse un peu ça de côté en retenant seulement qu'il s'agit de situations très différentes (indépendant est lié à la loi de probabilité; incompatible non), et en apprenant à bien te servir des quelques règles de base (on fait énormément de choses avec). Méfie toi de l'indépendance si ce n'est pas une hypothèse ou une conséquence évidente des données.
Quand tu maîtriseras bien les bases, tu pourras y revenir et regarder dans quelle mesure des événement incompatibles peuvent être indépendant ou non.
Enfin (je te l'ai déjà dit), la notion d'événements compatibles ne sert pas. Seule la notion d'événement disjoints (incompatibles) a une utilité technique.

Cordialement.

NB : "si A et B sont incompatibles ils sont forcément dépendants" et "Si A et B sont indépendants ils ne peuvent être que compatibles" sont des règles fausse (écrites ainsi) qui demanderaient à être complétées

[invite3b66be4b]

merci beaucoup pour vos aides, je comprends mieux gg0 merci !

[invite4ff70a1c]

Salut.
Votre exposé,GG0,mériterait de figurer parmi les posts en haut de la page.
Merci beaucoup.

[invite3b66be4b]

Bonjour gg0, pour revenir sur votre exemple du dé non pipé, P(A) = 1/6 P(B) = 3/6 donc ils ne peuvent être indépendants, donc ils sont dépendants, or ça veut dire que P(AinterB) = P(A/B) * P(B) , et donc que P(A/B) = 0 puisque P(A inter B) = 0 car ce sont des évènements incompatibles.

Est-ce bien cela ? Merci