[Fonction dérivée] relations avec parité & périodicité

[Diskovery]

Bonjour,

Je vous soumets cet exercice sur le thème de la fonction dérivée en relation(s) avec la parité ou la périodicité d'une fonction. Pour çà tombe juste, j'ai fais une "sauce" perso avec la définition du nombre dérivé, mais je crains pour la validité de la démonstration

Soit une fonction définie et dérivable sur . Démontrer que :
1°) Si est paire, alors sa dérivée est impaire.
2°) Si est impaire, alors sa dérivée est paire.
3°) Si est périodique de période , alors sa dérivée est périodique de période .

_________________

Je vais utiliser la définition du nombre dérivé pour les démonstrations :

-1°) Il faut démontrer que


-2°) Il faut démontrer que


-3°) Il faut démontrer que


Merci pour vos remarques et corrections,
@+
-----

[pallas]

prends comme exemple f(x)= valeur absolue de x c'est bien une fonction paire mais pour la derivée .....

[PlaneteF]

Bonjour,

Je vous soumets cet exercice sur le thème de la fonction dérivée en relation(s) avec la parité ou la périodicité d'une fonction. Pour çà tombe juste, j'ai fais une "sauce" perso avec la définition du nombre dérivé, mais je crains pour la validité de la démonstration

Soit une fonction définie et dérivable sur . Démontrer que :
1°) Si est paire, alors sa dérivée est impaire.
2°) Si est impaire, alors sa dérivée est paire.
3°) Si est périodique de période , alors sa dérivée est périodique de période .

_________________

Je vais utiliser la définition du nombre dérivé pour les démonstrations :

-1°) Il faut démontrer que


-2°) Il faut démontrer que


-3°) Il faut démontrer que


Merci pour vos remarques et corrections,
@+

Bonjour,

2 petites remarques :

1) Tu commences tes 2 premiers calculs avec x qui tend vers x₀, alors que si tu appliques la définition à la lettre, x tend vers (-x₀). Alors j'ai bien compris que tu faisais implicitement le changement de variable x -> -x, ... disons qu'en toute rigueur tu sautes une mini-étape, ... cela peut paraître évident pour beaucoup, peut-être un peu moins pour certains autres.

2) Ces 3 propriétés se démontrent en 1 ligne en utilisant la formule de la dérivée de 2 fonctions composées

[PlaneteF]

prends comme exemple f(x)= valeur absolue de x c'est bien une fonction paire mais pour la derivée .....

Bonjour,

Dans l'hypothèse de départ donnée par Diskovery, f est une fonction dérivable sur , donc la fonction |x| n'est pas dans le périmètre de l'exercice

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Ces 3 propriétés se démontrent en 1 ligne en utilisant la formule de la dérivée de 2 fonctions composées

Que dis-je ?! ... même pas en 1 ligne, mais en 1 seule égalité intermédiaire

[Diskovery]

Bonjour,

2 petites remarques :

1) Tu commences tes 2 premiers calculs avec x qui tend vers x₀, alors que si tu appliques la définition à la lettre, x tend vers (-x₀). Alors j'ai bien compris que tu faisais implicitement le changement de variable x -> -x, ... disons qu'en toute rigueur tu sautes une mini-étape, ... cela peut paraître évident pour beaucoup, peut-être un peu moins pour certains autres.

STP, c'est quoi la démonstration rigoureuse pour les deux premières questions

2) Ces 3 propriétés se démontrent en 1 ligne en utilisant la formule de la dérivée de 2 fonctions composées

Ok, j'essaye...
Avec la composition on a : , si je pose et , il vient : .

-1°)

-2°)

-3) , on ne peut pas faire plus court !

Cette démonstration est correcte ?
Merci et @+

[PlaneteF]

Bonsoir,

Faux ... tu confonds et

Faux ... tu confonds et

-1°)

Faux ... même remarque que précédemment

-2°)

Faux ... même remarque que précédemment

-3) , on ne peut pas faire plus court !

Vrai pour résultat, faux pour la méthode ... même remarque que précédemment



Pour résumer, tu fais à chaque fois la même erreur --> Quand tu as : , et que tu dérives membre à membre, toi à chaque fois tu écris .

C'est faux, ... en fait il faut écrire : donc


Donc par exemple, en décomposant au maximum :

Si est paire

On a :

Donc:

Donc :

Donc :

Donc : impaire.

Ce n'est pas du tout ce que tu as écrit !

[PlaneteF]

Re-bonsoir

Je vais compléter mon message précédent parce qu'en me relisant je ne suis pas sûr avoir été suffisamment clair dans certaines explications

En écrivant cela, on en déduit : pour toute fonction , donc dans tous les cas de figure, absurde !!!

En fait il faut écrire:

.

En écrivant cela pour toute fonction , on en déduit donc , donc , donc toutes les fonctions dérivables ont leur fonction dérivée égale à la fonction nulle, absurde !!!

En fait il faut écrire :

-1°)

Donc là tu écris que si est paire alors est paire aussi, alors qu'il faut démontrer que est impaire !!! ... En fait tu retombes sur tes pieds parce que cette erreur est annulée juste après par une 2^e erreur qui consiste à utiliser la formule précédente qui est fausse !!!


Idem pour la suite ...

[Diskovery]

Re-bonsoir
Je vais compléter mon message précédent parce qu'en me relisant je ne suis pas sûr avoir été suffisamment clair dans certaines explications

C'est sûr que ces compléments sont utiles !

En écrivant cela, on en déduit : pour toute fonction , donc dans tous les cas de figure, absurde !!!

En fait il faut écrire:

En écrivant cela pour toute fonction , on en déduit donc , donc , donc toutes les fonctions dérivables ont leur fonction dérivée égale à la fonction nulle, absurde !!!

En fait il faut écrire :
Donc là tu écris que si est paire alors est paire aussi, alors qu'il faut démontrer que est impaire !!! ... En fait tu retombes sur tes pieds parce que cette erreur est annulée juste après par une 2^e erreur qui consiste à utiliser la formule précédente qui est fausse !!!

En plus, j'avais remarqué, à la relecture juste avant le post, cette incohérence mais c'était tard, la lassitude
Tout ceci est super utile et j'ai bien retenu :
<abuse>Pour finir, tu peux me dire ce qui manquait dans la 1ère démonstration avec la définition de la dérivée ?</abuse>

Merci beaucoup pour ton aide !
@+

[PlaneteF]

Pour finir, tu peux me dire ce qui manquait dans la 1ère démonstration avec la définition de la dérivée

Salut !

La tout petite remarque que je faisais était simplement la chose suivante :

Quand tu donnes comme définition :

alors l'application directe de cette définition à est donc :



C'était tout ! ... après tu "embrayes" sur ce que tu as écrit ...


De la même manière :

[Hooligan21]

on peut pas dire simplement que si f est paire elle admet un extremum, il y a donc changement de signe à la racine de la dérivée et f'(x) est forcément impaire

[DSCH]

si f est paire elle admet un extremum

Et comment démontrez-vous ceci ? Dit comme cela, c’est de toute façon faux. Si vous parlez d’extremum local, c’est parce que la fonction dérivée s’annule en changeant de signe en zéro qu'il y a un extremum local, et non le contraire.

il y a donc changement de signe à la racine de la dérivée et f'(x) est forcément impaire

Outre que c’est mal dit, c’est faux. Il y a des tas de fonctions dont la dérivée s’annule en zéro en changeant de signe sans qu’elles soient impaires. Vous semblez confondre une implication avec sa réciproque.