La récurrence

[invite48a2621f]

Bonjour à vous !

Voilà, je suis en terminale S et j'ai du mal avec la récurrence, j'ai compris le principe mais je n'arrive pas à le ressortir seule face à ma copie. J'ai l'impression d'admettre ce que je dois démontrer et donc l'automatisme ne se fait pas. Est-ce que quelqu'un aurait-il l'obligeance de m'expliquer peut-être plus simplement le principe ?

J'ai justement un exemple, pourriez-vous me l'expliquer s'il vous plaît ?

2. On considère la suite (w_n) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n ≥ 1 :
nw_n = (n + 1)w_n-1 + 1 et w₀ = 1.
Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.

w0	w1	w2	w3	w4	W5	w6	w7	w8	w9
1	3	5	7	9	11	13	15	17	19

a. Détailler le calcul permettant d'obtenir w₁₀.
b. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.Donner la nature de la suite (w_n). Calculer w_2009.

a.Donc grâce au tableau on peut dire que : 10w₁₀ = 11w₉ + 1 = (11 * 19 + 1)/10 = 210/10 = 21 = w_10.
b.Là je sais qu'il faut montrer par récurrence que w_n = w_n-1 + 2 et je suis capable de faire l'hérédité (encore heureux!) mais après voilà c'est le brouillard... Éclairez-moi s'il vous plaît !

Merci beaucoup !
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[gg0]

Bonsoir.

Attention à ce que tu écris :
10w₁₀ = 11w₉ + 1 oui !
= (11 * 19 + 1)/10 Aie, aie, aie !
11W₉ =11*19+1 = 210; mais pas divisé par 10, sinon ce n'est plus égal ! D'ailleurs tu as un remord à la fin puisque tu écris = w₁₀.

Ensuite, pour la question 2, tu peux faire une preuve par récurrence, mais la propriété que tu as choisie est assez délicate à prouver directement, alors que tu peux facilement trouver une formule pour w_n, qui te simplifiera la preuve.

Bon, passons à la preuve par récurrence. L'idée est simple, et si tu l'as comprise, il te suffit d'écrire (sans chercher à imiter quoi que ce soit). Mais d'écrire intelligemment, ce que tu peux faire si tu le veux. Même si tu n'écris pas exactement comme ton prof, si tu suis le schéma de récurrence, il reconnaîtra immédiatement que tu as compris.
Donc dans un premier temps, on montre que la propriété est vraie pour au moins un nombre n₀.
Ensuite, on montre que si la propriété est vraie pour un nombre non précisé (disons n, ou k), elle est vraie pour le nombre suivant (n+1 ou k+1). Autrement dit on ne prend pas comme hypothèse que la propriété est vraie pour tout entier (ce qu'on veut démontrer), mais qu'elle est vraie pour un particulier (ce n'est pas une hypothèse gratuite, on en connaît déjà un, n₀).
Il ne reste plus qu'à conclure en disant "la propriété est vraie pour tout entier supérieur ou égal à n₀".

C'est tout !
Autrement dit, pour prouver qu'une propriété est vraie pour tout nombre entier au moins égal à l'entier a, on prouve qu'elle est vraie pour a (généralement simple), puis que sa vérité pour un entier donné prouve qu'elle est vraie pour l'entier d'après (parfois très difficile, parfois évident), et c'est tout !

Cordialement.

[invite48a2621f]

Ah oui grosse erreur effectivement, inattention désolée...

Merci c'est plus clair maintenant mais sur quoi on se base pour conclure comme ça ? On prouve que la propriété est vraie pour un entier quelconque et de là on peut dire qu'elle est vraie quelque soit n ?

[PlaneteF]

Ah oui grosse erreur effectivement, inattention désolée...

Merci c'est plus clair maintenant mais sur quoi on se base pour conclure comme ça ? On prouve que la propriété est vraie pour un entier quelconque et de là on peut dire qu'elle est vraie quelque soit n ?

Bonsoir,

Il n'y a pas très longtemps, dans un autre post j'avais donné un exemple classique de démonstration par récurrence. Voici un copier-coller de ce message ci-dessous :



Soit la somme suivante : , pour

Montrons par récurrence que :

D'abord tu vérifies que cette relation est vraie pour le premier rang . Par définition on a : . Vérifions alors la formule : , donc la formule est bien vérifiée au rang 1.

Supposons la relation vraie au rang (hypothèse de récurrence), donc supposons :

Il faut alors démontrer la formule au rang (en utilisant l'hypothèse précédente), donc démontrons que :


Par définition : CQFD.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Imagine qu'une propriété dépendant d'un entier n soit vraie pour n=2. Si tu supposes que "quand elle est vraie pour un entier, elle est vraie pour l'entier d'après", alors comme elle est vraie pour 2, elle est vraie pour 3, donc elle est vraie pour 4; donc elle est vraie pour 5; donc ....
On atteint ainsi tous les entiers, puisqu'un entier est une somme d'unités en nombre fini.

Cordialement.

[invite48a2621f]

Ah oui d'accord merci beaucoup je comprends mieux, un peu d'entraînement et ça ira très bien je pense !

Merci