Division euclidienne et conjectures

[invite06287e0f]

Bonsoir,

J'ai eu mon bac l'année dernière et les maths me manquent un peu. J'ai trouvé un bouquin d'exercices sur la spécialité et je coince sur l'un d'entre eux : dans une activité d'approche de la congruence, on se propose de prouver que dans la division euclidienne de 3n +2 par n +3, si n>=4, q = 2 et r = n - 4. C'est une activité d'approche, j'en conclue donc que je n'ai le droit ni aux congruences, ni au raisonnement par récurrence. Alors comment faire ? J'ai tenté de trouver quelque chose de flagrant en essayant n de 4 à 8, j'ai simplement vu que le reste s'incrémentait.

Merci d'avance
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[invitecb480987]

Bonjour Moonset,
Il est relativement facile de démontrer cette affirmation en sachant que vous connaissez l’existence d'une division euclidienne, en effet, si l'on effectue la division euclidienne de a par b, il y aura un quotient q et un reste r. Et une division euclidienne s'écrit alors sous la forme :

On procèdera donc ainsi pour la démonstration : dans votre exercice, soit donc en développant : . On trouve bien a à partir de bq + r ; Cqfd
Amicalement SyTeK

[invite06287e0f]

Merci beaucoup pour votre réponse.
Prouver que A -> B, j'ai oublié le réflexe de vérifier si A <=> B !
À bientôt

[Gwyddon]

Bonsoir,

Il manque quelque chose à la démonstration de SyTeK pour être vraiment rigoureuse. En effet, il n'a pas expliqué pourquoi n devait être supérieur à 4 pour que son raisonnement soit valide.

Il faut rappeler que dans la définition de la division euclidienne, le reste est toujours positif (et inférieur au dividende).

Quand on divise 3n +2 par n+3, on voit qu'il faut que q et r soient choisis de telle sorte à retrouver le monôme 3n.

Il n'y a que deux possibilités : soit q=1, soit q=2.

q=2 n'est possible que si le reste que ça implique, à savoir n-4, est positif : d'où la condition n>=4

Si n<4, alors la division euclidienne de 3n+2 par (n+3) sera 3n+2 = 1 x (n+3) + (2n -1)

Cordialement,

G.

[A voir en vidéo sur Futura]