Division Euclidienne

[inviteda3529a9]

Bonjour à tous.
J'ai une question à vous poser sur la démonstration de la division euclidienne.
Voici l'énoncé:

Supposons qu'il existe deux couples d'entiers (r;q) et (r';q') vérifiant:
a = bq+r avec 0<r<b
a = bq'+r' avec 0<r'<b
Effectuons la différence membre à membre des ces égalités. On obtient:
0=b(q-q')+r-r' avec -b<r-r'<b
Vous en déduisez que r-r' est un multiple de b et que ce multiple sera compris entre -b et b.
Le seul multiple qui convient est 0 donc r-r'=0 et q-q'=0

Voici mes intérogations:

- Comment obtient on "-b<r-r'<b" ?
- Pourquoi " r-r' est un multiple de b" ?
=) comment celà est possible: r-r'=K*b avec K un entier.
- Pourquoi "ce multiple sera compris entre -b et b." ?
-Pourquoi "Le seul multiple qui convient est 0" ???
rem: 0 est le multiple de n'importe quel réel de toute façon ...
ex: 0=0*1 ; 0=0*1000 ...
Comment obtenir ce multiple ou un multiple en général ???

Merci d'avance

A très bientôt.
-----

[invitef85dcae6]

Supposons qu'il existe deux couples d'entiers (r;q) et (r';q') vérifiant:
a = bq+r avec 0<r<b
a = bq'+r' avec 0<r'<b
Effectuons la différence membre à membre des ces égalités. On obtient:
0=b(q-q')+r-r' avec -b<r-r'<b
Vous en déduisez que r-r' est un multiple de b et que ce multiple sera compris entre -b et b.
Le seul multiple qui convient est 0 donc r-r'=0 et q-q'=0

Voici mes intérogations:

- Comment obtient on "-b<r-r'<b" ?
- Pourquoi " r-r' est un multiple de b" ?
=) comment celà est possible: r-r'=K*b avec K un entier.
- Pourquoi "ce multiple sera compris entre -b et b." ?
-Pourquoi "Le seul multiple qui convient est 0" ???
rem: 0 est le multiple de n'importe quel réel de toute façon ...
ex: 0=0*1 ; 0=0*1000 ...
Comment obtenir ce multiple ou un multiple en général ???

Merci d'avance

A très bientôt.

Bonjour !
Tout d'abord, je ne sais pas répondre à ta première question. Il aurait été plus simple de soustraire également les inégalités entre elles, comme cela a été fait avec les deux égalités. On aurait eu directement le résultat puisqu'on aurait eu : 0<r-r'<0 => r-r'=0 => r=r' et donc q=q'...

[inviteda3529a9]

Merci de votre réponse.
Ceci dit, l'énoncé que j'ai noté correspond à celui de mon livre.
Si quelqu'un pourrai me répondre, j'attends son avis avec impatiance ...

Merci d'avance.

[invite986312212]

loin de moi l'idée de vouloir t'accabler, mais tes questions sont très élémentaires, essaie d'y réfléchir un peu. Déjà si tu notes l'égalité 0=b(q-q')+(r-r') sous la forme b(q'-q)=r-r' tu devrais y voir plus clair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Il aurait été plus simple de soustraire également les inégalités entre elles, comme cela a été fait avec les deux égalités. On aurait eu directement le résultat puisqu'on aurait eu : 0<r-r'<0 => r-r'=0 => r=r' et donc q=q'...

Donc d'après vous
0 < 2 < 5
et
0 < 3 < 5

entraînent que 2 = 3 ?

[inviteda3529a9]

Pourriez vous m'aider svp ???

[invite986312212]

est-ce que q'-q est entier?

[invite18c42f07]

hello !

tu as écris (désolé je ne sais pas insérer de citations) :

Effectuons la différence membre à membre des ces égalités. On obtient:
0=b(q-q')+r-r'

donc :
-b(q-q') = r-r'

la question d'ambrosio est là "clé" car si q-q' est un entier alors :
q'-q=(r-r')/b ce qui traduit le fait que r-r' est un multiple de b. du moment que tu sais que (q,r) et (q',r') sont des couples d'ENTIERS, le reste devient facile.


seconde question :
0<r<b
0<r'<b
on n'a pas le droit de soustraire des inégalités, mais par contre tu peux les additionner ! l'idée serait donc de multiplier par -1 la seconde :

0<r<b
0>-r'>-b

donc
0<r<b
-b<-r'<0
et là comme tu as le droit d'additionner les inégalités, tu obtiens -b<r-r'<b !


tu as donc déduis que r-r' est un multiple de b et que r-r'<|b|, je te mes au défi de trouver un multiple d'un entier plus petit que sa valeur absolue autre que zéro haha

[invitef85dcae6]

Bonjour !

Mince x(

Excusez-moi de cette erreur...

[inviteda3529a9]

hey comment ça ?!

Pourquoi r-r' est un multiple de b ?
On n'a pas r-r' =K*b avec K un entier (Z) pourtant ?!

De plus,est ce que "un multiple d'un entier plus petit que sa valeur absolue est toujours égal à zéro" ???
Je ne comprends pas ???

Pourriez vous m'expliquer la phrase:

"tu as donc déduis que r-r' est un multiple de b et que r-r'<|b|, je te mes au défi de trouver un multiple d'un entier plus petit que sa valeur absolue autre que zéro haha."

PS: Je n'ai pas suivi la spé math en Terminale et je vais rentrer e MPSI donc c'est pour ca que je peux parfait poser des questions qui semble évidentes ^^

Est ce que quelqu'un pourrai m'expliquer les congruences svp ???
Ou me donner un très bon site car voici ce que j'ai comprit:
On a A congru à B modulo n signifie que le reste de la division de A par n et de B par n est le même.
C'est tout mais celà ne me permet pas de résoudre des calculs ou quoi que ce soit.

J'attends votre aide.

Merci d'avance

[inviteda3529a9]

Est ce que 17² congru à 6 modulo 5 est équivalent à 17² congru à -1 modulo 5 ???

[invitec3143530]

Je vais essayer de faire simple

Tu as b(q-q') = r-r'

Par l'absurde, (q-q') ne peut pas être égale ou supérieur à 1, car si il l'était, on aurait r-r' supérieur ou égale à b, comme ils sont tous les deux positifs celà voudrait dire que r est plus grand que b or le reste doit être plus petit que b => contradiction

donc q-q' = 0 d'où r-r'=0...

[inviteda3529a9]

si

Pour quelles valeurs de x , 3x² - 5x + 7 est-il divisible par 4 ?
Divisible par 4 = congruence modulo 4
On dresse une table de congruence , soit en détaillant ( ça évite les erreurs de calculs) , soit
directement :
x congru à 0 1 2 3
3x² congru à 0 3 0 3
5x congru à 0 1 2 3
3x² - 5x + 7 congru à 3 1 1 3

Comment aboutir à ce tableau ???
Conclusion : dans la dernière ligne le reste n’est jamais égal à 0 donc pour tout x , 3x² - 5x + 7
n’est jamais divisible par 4
Comment aboutir à ce résultat ??

[invitef6ecfe04]

Pour repondre à ta question

"Est ce que 17² congru à 6 modulo 5 est équivalent à 17² congru à -1 modulo 5 ??? "

non car 17^2 congru a 4 modulo 5 déjà ce qui est equivalent a 17^2 congru a -1 modulo 5 car 4=5-1 5 est congru a 0 mod 5 et -1 congru a lui mod 5 or la somme des congruence est la congruence des somme soit 17^2 congru à 4 mod 5 congru à -1 mod 5



pour ta reponse sur le tableau de congruence c'est une technique que l'on utlise souvent en arithmétique et qui se base sur la propriété des la somme des congruence que j'ai citée plus haut


Pour aboutir à ce tableau il faut resonner x congru a 0 1 2 3 mod 4 car tout les nombres entier relatifs(tu peux verifier si tu me crois pas) s'ecrive des formes suivantes

4k ;4k+1;4k+2;4k+3 ( après on au rait 4k +4 = 4(k+1) et on revient au premier cas on a dont tout les nombres entiers relatifs) k appartient a (Z)

donc x mod 4 peut s'ecrire 4k mod 4 =0 ;4k +1 mod 4 =1 ;4k+2 mod 4 =2 ;4k+3 mod 4 =3 et ta ta prmière ligne en apliquant les règles du calcul sur les congruences tu obtient les lignes suivantes

ex : la deuxieme ligne si x mod 4 = 0 alors x^2 mod 4 =0 et 3x^2 mod 4 =0
si x mod 4 = 1 alors x^2 mod 4 =1^2=1 et 3x^2 mod 4 = 3*1=3

si x mod 4 = 2 alors x^2 mod 4 =2^2 =4 =0mod 4 et 3x^2 = 0 mod 4

etc...

Tu arrive à la dernière ligne et tu vois que 3x^2 -5x +7 n 'est jamais congru a 0 modulo 4 3x^2 -5x +7 n'est jamais egal a 0+4t (avec t en entier) soit 3x^2 -5x +7 n'est jamais divisible par 4 .



Je suppose que tu est en première S et que tu t'avance dans le programme de spé pour l'année prochaine ,un conseil que je pourrais te donner est d'atendre la rentrée car le raisonnemnt d 'arithmètique est très particulier , mois j'ai passé mon bac cette année spe math comme toi j'ai toujours été bon en maths ( pour te situer j'ai eu une très bonne note au bac de maths ca veut rien dire parce que le bac est très simple mais ca montre que je n'ai aucune grosse difficulté en maths) et je peut te dire que le premier mois j'arrivais pas a faire les exo je me disait que j'était nul et tout d'un coup tu vas voir ca va se debloquer et l'arithmétique sera ce que tu prefereras ( c'est jouissif ).


Si tu as des difficultés en maths ne va pas te decourager et si tu n'en n'as pas ne va pas te faire peur inutillement laisse ton prof t'expliquer .

Les vacances c'est fait pour se reposer .


Bonne continuation