Bonjour, je connais tout ce qui a rapport avec les fonctions rationnelles, mais le problème c'est qu'a la fin de quelques exercices je rencontre une question du genre:
Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction f sur R.
On n'a jamais parler de continuité en classe, quelqu'un pourrait m'expliquer qu'est ce que la continuité de la fonction, et concrétiser la notion par des exemples?
MErci beaucoup
Bonjour,
La continuité a une définition assez compliquée que l'on voit après le bac.
En revanche, pour l'instant, tu peux considérer qu'une fonction continue est une fonction dont on peut dessiner le graphe sans lever le stylo.
Étudier la continuité, ça revient en gros à dire :
* La fonction n'est pas continue en certains points (par exemple la fonction 1/(x+1) n'est pas continue en -1.)
* La fonction est continue partout ailleurs.
La non-continuité se montre facilement. Au lycée, ça se traduit en général par une fonction qui tend vers l'infini en un point donné. De plus, si tu as vu ce qu'est une limite, ça se traduit par le fait que la limite à gauche en un point n'est pas la même que la limite à droite.
Pour la continuité, il suffit de montrer que c'est une somme/produit/composée de fonctions continues, ou un quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas.
Valentin
Comment verifier mathematiquement que la fonction est continue sur son interval de definition?
, ce n'etait pas pareil dans le cas de la derivée ?ça se traduit par le fait que la limite à gauche en un point n'est pas la même que la limite à droite
merci
Bonjour Jojoxxp4.
La continuité de la fonction numérique f en a est le fait que la limite de f(x) quand x tend vers a, est f(a). Ce qui veut dire que a est dans le domaine de définition. Donc il n'y a pas de problème en -1 pour " la fonction 1/(x+1)", puisque -1 n'est pas dans le domaine de définition.
Je reste simple (il y a des définitions plus générales et plus utiles à haut niveau) : la fonction f est continue sur l'intervalle I si f est continue en toute valeur a appartenant à I.
Comme le dit Progval, " il suffit de montrer que c'est une somme/produit/composée de fonctions continues, ou un quotient de fonctions continues" pour montrer que c'est une fonction continue sur chacun des intervalles du domaine de définition.
En effet, si f et g sont continues sur I, f+g, fg, et f/g(si g ne s'annule pas sur I) sont continues sur I. Il y a une propriété du même genre pour les fonctions de fonctions. Et comme les "fonctions de base" (polynômes, fonctions trigo, ln et exp, racines carrées ou n-ièmes, ..) sont continues sur chaque intervalle de leur domaine de définition, pas de problème pour les fonctions obtenues par un calcul simple.
mais il faut se méfier si on utilise une fonction discontinue comme la fonction de Heaviside, ou la fonction "partie entière".
Cordialement.
