Tg et Cotg

[Lucien-O.]

Bonjour à tous,
je révisais le cercle trigonométrique lorsque, arrivé à la définition de tg et cotg, je me retrouve face à une énigme.

Je vous note l'intro. de mon cours:


La droite OP (un rayon quelconque du cercle) comprenant les points O (0,0) et P (Cosω,Sinω) est:

x.Sinω - y.Cosω = 0 ===> En vertu de quoi? D'où sort cette équation?

Après, l'équation permet de dire que pour x=1 ; y=Sinω/Cosω=Tgω et si y=1 alors x=Cosω/Sinω=Cotgω


Je peux donc continuer à étudier mais ne pas comprendre d'où vient cette équation m'énerve..
Si quelqu'un voulait m'expliquer je lui dis merci d'avance!
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[L-etudiant]

Salut,

ta droite OP est dirigé par le vecteur OP.

@+

[Lucien-O.]

Merci, ... mais j'apprends sur le tas.

Du coup je vois effectivement que la droite est dirigée par le vecteur OP mais étant donné que je ne connais pas grand chose aux vecteurs je ne vois pas ce qui permet de déduire l'équation.

[L-etudiant]

OK, alors ca marche comme ca.

Soit . Alors et sont colinéaires.

On a donc :



C'est la méthode générale. Et apres, je pense qu'il y a un facteur -1 qui traine...

Edit : comment on fait les vecteurs ici ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

L'équation de la droite s'écrit (cas général) ax+by+c=0
On écrit que O est sur la droite (donc c=0) puis que P est sur la droite. Comme a et b sont définis à un coefficient près, on voit qu'on peut prendre pour a et b les valeurs annoncées.

Cordialement.

[Lucien-O.]

Merci à vous deux, mais je n'y suis pas encore.

A l'étudiant : Je vois l'idée pour les deux vecteurs colinéaires, il faut juste que je me renseigne sinon je ne vois pas plus d'où sort (xp-xo)(ym-yo)-(yp-yo)(xm-xo) que mon équation de droite.
En gros il s'agit des relations entre vecteurs dans le plan n'est-ce pas?
(Quel est le nom de cette matière? il faut d'ailleurs que je trouve un livre dans lequel étudier la géométrie dans le plan si par hasard vous en connaissez un bon je vous saurai bon gré de m'en communiquer les références ^^)

A gg0: Je connaissais l'équation de droite sous la forme y=ax+b, j'avais en premier lieu cherché à remplacer x et y par Cos et Sin mais ça ne menait nul part.
Je ne comprend pas sur quoi vous vous appuyez lorsque vous remplacer a et b respectivement par Sin et Cos ... Pourquoi pas l'inverse? a=cos et b=sin ?
Ensuite si l'on remplace simplement on obtient Sinx+Cosy=0 ?!
Et pourquoi remplace-t-on a et b et non x et y (ce qui serait logique puisque nous avons les coordonnées de P soit (x,y)=(Cos,Sin)

Désolé de pinailler mais tout ceci est flou dans ma tête

[gg0]

Apparemment,

tu manques de bases en géométrie analytique. Et tu mélanges et , mais passons.

L'équation y=ax+b peut encore s'écrire ax-y+b=0, ou en multipliant des deux côtés par une constante k non nulle : kax+(-k)y+kb=0, qui est de la forme Ax+By+C=0 où A, B et C sont des constantes (A=ka, B=-k, C=kb).
Les droites qui n'ont pas une équation de la forme y=ax+b sont celle qui sont parallèles à l'axe des y, et elles ont pour équation x=a, ou encore kx-0Y-ka=0, encore une fois, on a la forme Ax+By+C=0 où A, B et C sont des constantes (A=k, B=0,C=-ka).
Inversement, si je prends une équation de la forme Ax+By+C=0 où A, B et C sont des constantes, et A et B ne sont pas simultanément nuls (l'un ou l'autre est non nul, ou les deux); alors on montre facilement que c'est l'équation d'une droite (parallèle à Oy si B=0).
Donc la forme générale des équations de droites, donc de OP, est ax+by+c=0, mais on retrouve une équation de la même droite si on multiplie ou divise tous les coefficients par une constante non nulle (ça revient à multiplier ou diviser les deux membres par cette constante).
Comme O (0,0) est sur OP, je peux remplacer x et y par 0 et l'équation est vérifiée (*). ça donne c=0
Donc l'équation de OP est ax+by=0
Mais P est sur OP, donc je peux remplacer x et y par les coordonnées de P :
(1)
a et b sont définis à des coefficients près, donc leurs valeurs ne sont pas fixées. Mais on voit qu'en prenant :
et
l'égalité (1) est vérifiée, donc ces valeurs conviennent pour donner une équation de OP.

Cordialement.

(*) C'est ça que veut dire "équation de .."

[L-etudiant]

Sinon, c'est de l'algebre lineaire. Des livres pour ca y'en a plein, apres ca depend de tes preferences (Tauvel, ... y'a que lui qui me revient en tete mais y'en a vraiment plein, cherche des trucs genre "tout pour la L1 ou pour la Licence).

Mon équation (attention a ne pas oublier le "=0", c'est iimportant) vient du produit vectoriel de OP OM qui donne un vecteur normal et ses coordonnées sont les A et B de gg0 (c'est la meme chose mais une methode différente)

@+

[Lucien-O.]

Ok, effectivement je n'ai jamais fait de géométrie analytique ni même d'algèbre linéaire, je vais voir tout ça.

Un bien grand merci, ça fait plaisir^^!