Systèmes d'équations

[invitef3b3d4c2]

Bonjour à tous !
Je planche actuellement sur un un problème.

Soient A(a, b, c), M(x, y, z) des points et n(u, v, w) un vecteur.
Soit P le plan passant par A et normal à n. Son équation est donc : u(x-a) + v(y-b) + w(z-c) = 0 à moins que je me sois trompé...
Soit S une sphère de centre A et de rayon R. Son équation est donc : (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R²

Et j'aimerais obtenir l'équation de l'intersection des deux, à savoir le cercle de centre A et de rayon R. Le problème est que j'ai 3 inconnues pour seulement 2 équations...

Quelqu'un aurait-il une idée ? Parce que là je vois pas du tout et comme cela fait 2 ans que je n'ai plus fait de géométrie, je n'ai peut-être plus les réflexes.

Merci beaucoup !
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[Dlzlogic]

Bonjour à tous !
Je planche actuellement sur un un problème.

Soient A(a, b, c), M(x, y, z) des points et n(u, v, w) un vecteur.
Soit P le plan passant par A et normal à n. Son équation est donc : u(x-a) + v(y-b) + w(z-c) = 0 à moins que je me sois trompé...
Soit S une sphère de centre A et de rayon R. Son équation est donc : (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R²

Et j'aimerais obtenir l'équation de l'intersection des deux, à savoir le cercle de centre A et de rayon R. Le problème est que j'ai 3 inconnues pour seulement 2 équations...

Quelqu'un aurait-il une idée ? Parce que là je vois pas du tout et comme cela fait 2 ans que je n'ai plus fait de géométrie, je n'ai peut-être plus les réflexes.

Merci beaucoup !

Bonjour,
J'ai l'impression que c'est la façon de poser le problème.
Vous cherchez à définir l'équation d'un cercle dans un système 3D. Quelle est la forme générale de cette équation ? moi, je sais pas.
Pour contre, vous pouvez dire que tous les points situés sur le cercle satisfont le système de 2 équations que vous avez défini.
En d'autres termes si vous connaissez une coordonnée, si elles existent, vous pouvez calculer les deux autres (en fait, deux fois deux autres). Les points correspondants sont les intersections du cercle et du plan perpendiculaire à l'axe concerné.

[PlaneteF]

Et j'aimerais obtenir l'équation de l'intersection des deux, à savoir le cercle de centre A et de rayon R. Le problème est que j'ai 3 inconnues pour seulement 2 équations...

Bonjour,

Prend l'exemple d'une droite dans l'espace. Elle peut être représentée comme l'intersection de 2 plans donc par un système de 2 équations, et non pas une seule équation. C'est le même principe dans ton cas

[invitef3b3d4c2]

En fait, j'aimerais obtenir l'ensemble des points du cercle avec leurs coordonnées. Mais je ne sais pas comment résoudre ce système... Et je n'ai pas bien saisi vos remarques...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

En fait, j'aimerais obtenir l'ensemble des points du cercle avec leurs coordonnées. Mais je ne sais pas comment résoudre ce système... Et je n'ai pas bien saisi vos remarques...

De la même façon que l'ensemble des points d'une droite est défini par les équations de 2 plans qui s'intersectent (cf PlaneteF), l'ensemble des points du cercle est obtenu par le système de 2 équations, l'équation du plan et l'équation de la sphère.
Si on veut connaitre la position d'un point P, il faut connaitre l'une des coordonnées, puis résoudre le système. On a alors un système de 2 équations à 2 inconnues (les 2 coordonnées manquantes). Comme l'une des deux équation est du second degré, on peut avoir 0, 1 ou 2 solutions.

[sylvainc2]

Les équations paramétriques d'un cercle dans l'espace sont:

x = a + R cos(t) Ux + R sin(t) Vx
y = b + R cos(t) Uy + R sin(t) Vy
z = c + R cos(t) Uz + R sin(t) Vz

où U=(Ux,Uy,Uz) et V=(Vx,Vy,Vz) sont deux vecteurs orthonormés (orthogonaux et unitaires) situés dans le plan du cercle, (a,b,c) le centre du cercle, R son rayon, et t est le paramètre qui varie de 0 à 2pi.

Dans ton cas, tu connais le centre et le rayon, il reste à trouver U et V, mais c'est facile puisque tu connais un vecteur normal au plan.

Donc la seule vraie inconnue est t, que tu fais varier de 0 à 2pi pour avoir n'importe lequel point sur le cercle.