Calcul litteral : simplifier une démonstration

[Diskovery]

Montrer que l'expression suivante :



ne dépend pas de , , . Quelle est la valeur de cette somme ?
______________________________ _____________

Après réduction au même dénominateur, l'expression s'écrit :



En changeant le signe de certains facteurs du dénominateur, on le transforme ainsi :



La factorisation du numérateur est moins évidente mais, en tenant compte de la remarque précédente, on peut remarquer que le produit de facteurs est commun. En effet :



A l'issue de cette étape l'expression du numérateur devient :



En développant le contenu entre crochets il vient :



Cette dernière expression s'annule si , mais aussi si , , ce qui la rend, ainsi, factorisable :



Ce qui nous conduit à :



En regroupant tous ces résultats l'expression se simplifie entièrement :



Qui est une valeur indépendante de , et .


Est-il possible de simplifier/raccourcir cette démonstration ?

Merci et @+
-----

[Médiat]

Bonjour,

Par exemple en remarquant que (a - b) = -(b - a) (etc.) dès le début.

[Diskovery]

Bonjour,

Par exemple en remarquant que (a - b) = -(b - a) (etc.) dès le début.

Merci pour ta réponse.
Avant de réduire au même dénominateur, comment celà raccourci les calculs ?

@+

[Médiat]

Vous allez multiplier chaque numérateur par 1 seul facteur au lieu de 4 ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

[HS]Bravo et merci pour votre effort pour écrire les formules en utilisant Latex.
Cela rend les posts lisibles et cela devient beaucoup plus tentant de répondre, que ceux qui résistent encore à l'utilisation de Latex essayent d'en prendre conscience.

Voir, par exemple : http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html
[/HS]

[Diskovery]

Vous allez multiplier chaque numérateur par 1 seul facteur au lieu de 4 ...

En effet, on a directement :


...


Mais, mon message avait (surtout) pour but de trouver une factorisation facile du numérateur :



En effet, j'avais remarqué la symétrie de cette expression qui restait inchangée par permutation circulaire des lettres, mais je n'ai pas pu poursuivre, car je ne sais pas la factoriser classiquement par des regroupement astucieux/successifs ! J'ai du attendre la correction d'un autre exercice pour le deviner/comprendre
Finalement, existe t'il une règle, un théorème, pour ces expressions algébriques totalement symétriques ?

Merci et @+

[Médiat]

Vous pouvez considérer votre expression comme un polynome en a, et la mise en facteur devient évidente.

Vous pouvez aussi vérifier que si a = b, alors votre expression est nulle, donc on peut mettre a - b en facteur.

[Diskovery]

Vous pouvez considérer votre expression comme un polynome en a, et la mise en facteur devient évidente.

Et ensuite... ?

Vous pouvez aussi vérifier que si a = b, alors votre expression est nulle, donc on peut mettre a - b en facteur.

Ce que j'ai compris tardivement.

@+

[Médiat]

Etc.

[Diskovery]

Etc.

=
En effet, les coefficients et forment la somme et le produit.

CQFD et merci pour ton aide.