Problème de statistiques

[invitea6fc08c5]

Bonjour à tous, j'ai besoin de vos lumières.

Je butte sur un problème fréquemment posé dans un magazine de vulgarisation scientifique, ou plutôt sur la solution qui en est donnée.

Voici le problème :
Un femme a deux enfants, dont au moins un garçon. Quelle est la probabilité que l'autre soit une fille?

La réponse : .......2/3!

L'explication : Comme on ne sait pas si le garçon est l’aîné ou le cadet, on envisage les fratries suivantes
1) Le garçon et une grande soeur
2) Le garçon et une petite soeur
3) La garçon et un frère
Ce qui donne 2 chances sur 3 que le 2ème enfant soit une fille.


Ce magazine étant de réputation sérieuse, je n'ai pas de raison de douter de leurs explications. pourtant mon instinct ne cesse de me dire que quelque chose cloche.

Voici mon raisonnement.
Si l'on ne sait pas si le garçon est l’aîné ou le cadet, j'envisage 4 (et non pas 3) fratries.
1) Le garçon et une grande soeur
2) Le garçon et une petite soeur
3) La garçon et un grand frère
4) Le garçon et un petit frère
Le garçon ne pouvant pas être à la fois l’aîné et le cadet, les deux dernières fratries sont bien deux fratries différentes.
Ce qui ramène la probabilité à la valeur 2/4 soit une chance sur deux que le deuxième soit une fille.
Mon instinct est plus serein dans ce cas.

SVP, ou est mon erreur, car je me doute qu'il doit y en avoir une!
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[gg0]

Bonjour.

Tes 4 cas sont-ils équiprobables ? En simulant des familles de 2 enfants, tu verras que non (tes cas 3 et 4 sont plus fréquents, car quand il y a deux garçons, il y a deux façons de prendre le garçon. Contre une seule dans les cas garçon/fille.

Cordialement.

NB : Ce problème est ainsi assez mal posé, car il n'y a pas d'expérience probabiliste définie.

[danyvio]

La question me semble également mal posée : la notion de "au moins un garçon" signifie : 1 ou 2 garçons. Dans ce dernier cas, la "proba" que l'autre (quelle autre ?) soit une fille est évidemment nulle. Et s'il n'y a qu'un garçon la "proba" est 1.

[gg0]

Une rédaction "sérieuse" :
Dans une famille de deux enfants, quelle est la probabilité qu'il y ait deux garçons sachant qu'il y en a un au moins.
Une autre rédaction, qui le rend évident :
Dans une famille de deux enfants, quelle est la probabilité qu'il y ait deux garçons sachant qu'il n'y a pas deux filles.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea6fc08c5]

Désolé si le problème semble mal formulé, il ne vient pas de moi et je n'ai fait que l’écrire ici tel qu'il était posé.

Ceci dit, je ne vois pas en quoi il ne semble pas clair. Une famille avec deux enfant dont l'un au moins est un garcon veut dire qu'il y a soit 2 garçons, soit une fille et un garçon.
La question étant quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille!

Merci quand même.

[invited1c1a33e]

C'est une variante du paradoxe des deux enfants :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_deux_enfants

[gg0]

Bonsoir.

Pourquoi est-il mal posé ? parce qu'il ne parle pas d'une situation probabiliste :
"Un femme a deux enfants, dont au moins un garçon."
Alors soit elle a deux garçons, soit elle a un garçon et une fille. Il n'y a r=pas de probabilité là dedans. Si cette femme est l'une de mes soeurs, dans tous les cas, il n'y a qu'un garçon.
On peut poser un vrai problème de probabilités en définissant clairement une épreuve probabiliste, en prenant un cas de femme ayant 2 enfants, prise au hasard. Ou en utilisant la génétique, et examinant la probabilité que sur 2 naissances etc.
D'ailleurs, il n'y a pas 50% de filles et 50% de garçons à la naissance, mais admettons cette approximation. C'est moins grave que de ne pas probabiliser.
Mes formulations elles aussi mériteraient d'être plus probabilistes :
Dans une famille de deux enfants prise au hasard, quelle est la probabilité qu'il y ait deux garçons sachant qu'il y en a un au moins.
ou
Dans une famille de deux enfants prise au hasard, quelle est la probabilité qu'il y ait deux garçons sachant qu'il n'y a pas deux filles.
Ces éléments sont sous-entendus dans mes premières formulations et dans ton texte, mais le fait de prendre "deux enfants, dont au moins un garçon" rend floue la question : Quel est l'univers considéré ?
Ma dernière formulation rend le problème tellement évident qu'il n'y a plus de surprise.

Cordialement.

NB : Ne pas confondre avec un problème différent : On prend au hasard un garçon. Quelle est la probabilité qu'il ait une soeur sachant qu'il est d'une famille de 2 enfants.

[invitea6fc08c5]

Merci gg0!
Ce sont des nuances que seul un véritable accro des math peut formuler aussi clairement.
Mais je pense au vu de ta réponse que le "malaise" que j'éprouvais à la lecture de la solution proposée par le mag vient du manque de clarté de l’énoncé