Problème avec un fermier et son grillage

[invite961e692a]

Bonjour à tous,
Voilà je sollicite votre aide pour un exercice de maths que je n'arrive pas à résoudre.
Je vous présente tout d'abord l'énoncé puis je vous montrerais ce que j'en pense :

Un fermier possède un grillage d'une longueur de 100 mètres dont il doit s'en servir pour faire un enclos rectangulaire pour ces poules. Quel sera la longueur et la largeur qu'il devra choisir pour que ces poules ait le plus d'espace possible ?

Donc pour l'instant j'ai écris celà :

X = Longueur
Y = Largeur
(le x correspond à une multiplication pour mieux le distinguer)

2X + 2Y = 100
X x Y = Aire (< 2500)
X > 25
Y < 25

Mais là je bloque je ne vois pas quoi faire après celà, ni même si ce que j'ai fais est correct et sert à quelque chose pour arriver à ce que je cherche.
Si quelqu'un voudrait bien éclairer ma lanterne, merci d'avance à vous tous
-----

[gg0]

Comme tu as une équation, tu peux calculer Y en fonction de X, ce qui fait que l'aire est une fonction de X. Il ne te reste plus qu'à chercher pour quelle valeur cette fonction est maximale.
Je ne comprends pas ton "Aire (< 2500)", ni les inégalités strictes sur X et Y (ils peuvent être égaux, un carré est un rectangle).

Cordialement.

[Bruno]

Salut,

Pour chaque contrainte, dessine la région du plan (x,y) qui satisfait cette contrainte. Par exemple pour X > 25, tu dessines une ligne verticale en x=25 et tu hachures tout ce qui est à gauche de cette ligne, la partie non hachurée représentant les X admissibles.

[invite961e692a]

gg0 :
Donc je dois utiliser l'une de ces deux équations ?
2X + 2Y = 100
ou
X x Y = Aire
Je vois comment résoudre par exemple une équation du type x²+2x+5 mais je ne vois pas du tout comment résoudre une équation du type f(X) = X x Y
Quant à mes inégalités strictes Y < 25 et X > 25 il me semble que dans un rectangle la Longueur est toujours plus grande que la Largeur, non ?

Bruno : Ah oui ! Ca me rappelle des souvenirs de ma 1ére ça, je m'en souviens, donc si j'ai Y < 25 par exemple je trace la droite horizontale et je hachure tout ce qu'il y a au dessus et je verrais le maximum à la fin

Mais laquelle de ces 2 méthodes pensez-vous être la mieux ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bruno]

La méthode de gg0 est plus rapide car on a un terme non-linéaire (l'aire XY), ce qui complique un peu le dessin. Ta contrainte est 2X+2Y=100 et tu souhaites maximiser l'aire XY. La contrainte te permet d'isoler Y en fonction de X et en injectant dans XY, tu te retrouves avec une fonction d'une variable dont tu peux trouver les candidats maximants qui annulent sa dérivée.

[invite961e692a]

Si j'ai bien compris :
2X + 2Y = 100
2Y = 100-2X
Y = (100-2X)/2

Donc : f(X) = (100-2X)/2
Et maintenant je n'ai plus qu'à faire tout le tralala, dérivée, tableau de variation de la fonction f et je prends le maximum, c'est bien celà ?

[Bruno]

Y = (100-2X)/2, ça ok. Mais on veut maximiser le produit XY, càd la fonction f(x) = X(100-2X)/2. Il te manquait donc un X. Pour le tableau de variation complet oui si ça t'amuse, en fait ce qui t'intéresse c'est de savoir si le X0 annulant f'(X) est un maximum ou un minimum, et ça c'est f''(X0) qui te le dit (mieux: le signe du coefficient associé à X²). Le reste on s'en fiche.

[invite961e692a]

Ah oui d'accord je viens de comprendre, il fallait réutiliser l'équation Aire = X x Y en remplaçant le Y par la fonction f(X) = (100-2X)/2
Je fais le reste maintenant que j'ai tout en main, merci à vous je vous redirais juste après si je m'en suis sortit

[invite961e692a]

Alors voilà j'ai fais mes calculs donc pour la dérivée je trouve f'(x) = -2x+50
Elle s'annule en x = 25 qui est le maximum de la fonction f, f(25) = 625
Celà veut-il dire que la Longueur devra être de 25 m pour que l'enclos ait une aire maximale ?
Celà me semble bizarre puisqu'alors la Largeur sera elle aussi de 25 m, or un rectangle n'admet-il pas une Longueur plus grande que sa Largeur ? (Sachant que l'enclos est rectangulaire)

[Bruno]

Alors voilà j'ai fais mes calculs donc pour la dérivée je trouve f'(x) = -2x+50
Elle s'annule en x = 25 qui est le maximum de la fonction f, f(25) = 625
Celà veut-il dire que la Longueur devra être de 25 m pour que l'enclos ait une aire maximale ?

Tout à fait.

Celà me semble bizarre puisqu'alors la Largeur sera elle aussi de 25 m, or un rectangle n'admet-il pas une Longueur plus grande que sa Largeur ? (Sachant que l'enclos est rectangulaire)

Avec l'équation 2X+2X=100 et l'objectif de maximiser XY, tu n'as aucune contrainte supplémentaire sur X et Y et tu as logiquement trouvé que l'aire était maximale lorsqu'on avait un carré (X=Y=25). Si tu souhaites absolument un rectangle qui ne soit pas carré, il suffit de regarder ta courbe f(X) qui est une parabole inversée: X=25 est le seul maximum et la seule façon d'éviter le grillage carré est d'être infiniment proche de X=25 sans jamais l'atteindre (ce qui est en pratique absurde).

[gg0]

Tout carré est un rectangle (particulier).