DM sur les suites

[invite105d8ea0]

On considère la suite u_n definie pour tout entier n superieur ou égal à 2 par :
u_n = (1-1/4)(1-1/9)...........................( 1-1/n²)

1)A) Démontrer que pour tout entier n superieur ou égal à deux on a u_n+1 = (n(n+2))/(n+1)² * u_n

B) Justifier le signe de u_n puis étudier le sens de variation de la suite (u_n) .

3.A. A l'aide d'un raisonnement par récurrence , démontrer que pour tout entier n superieur ou égal à 2 on a : u_n= (n+1)/(2n)
B. Vérifier alors que u_n= 1/2 ( 1+ 1/n)
En deduire le comportement de u_n lorque n tend vers + l'infinie

Je n'ai pas fait de cours sur le raisonnement par récurrence ... Et un bref rappel sur les suites alors je bloque completement ça fait des jours que je me torture avec cet exercice .. Alors si quelqu'un voudrais bien m'aider et surtout m'expliquer ...
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[ansset]

bonjour,
essayes simplement d'écrire U(n+1) en fonction de Un à l'aide de la première formule.
le 1A) en découle immédiatement.

[invite105d8ea0]

u_n*(1-1/(n+1)²)
Et je trouve le bon resultats ... Merci .
Et pour les autres questions vous avez de l'aide a me donner ?

[ansset]

Un est un produit de facteurs ( 1ère équation )
quel est le signe de chaque facteur, qu'en deduis tu ?

essayes aussi de faire un petit effort de ton coté svp....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite105d8ea0]

Comme (1-1/4)>0
Comme (1-1/9)>0
et comme (1-1/n²)>0 ( car un carré toujours positif )
Et comme n>2 alors la suite est strictement croissante ?
J'ai fait cette méthode mais elle me paraît trop simple .

[invite0c60ffb1]

Bonjour à tous !

j'ai besoin de vos explications pour un exo de maths sur les suites que j'ai du mal à commencer

Voila je dois démontrer que pour tout n appartient à N, Vn+1= 1/3Vn puis je dois donner la nature de cette suite.

Merci d'avance à tous ceux qui me viendront en aide

PS: l'exo est long mais m'aider à cette question me permettra de faire le reste seule.

[invite0c60ffb1]

Ah oui de manière intuitive il s'agit d'une suite géométrique mais pour le montrer...

[ansset]

@Selena :
ça ne se fait pas du tout de se greffer sur le post d'un autre.
tu dois initier un autre fil de discussion.

@Camille :
ta reponse est bonne.
tu vois, tu aurais pu la trouver toute seule
ceci dit tu expliques bien pourquoi elle est positive mais pas explicitement pourquoi elle est "croissante".

[phys4]

Ah oui de manière intuitive il s'agit d'une suite géométrique mais pour le montrer...

Non ce n'est pas une suite géométrique, il suffit de calculer Vn+2 en fonction de Vn pour voir son comportement évident.

Je pense que vous n'avez pas ouvert de fil personnel.

[ansset]

Non ce n'est pas une suite géométrique, il suffit de calculer Vn+2 en fonction de Vn pour voir son comportement évident.

Je pense que vous n'avez pas ouvert de fil personnel.

bjr Phys,
les histoires de parenthèses finissent mal ...... en général .
s'agit-il de (1/3)*Vn ou 1/(3*Vn) ce qui change tout.....

[invite105d8ea0]

Pour dire qu'elle est croissante il faut faire u_n+1-u_n ?
Si c'est cela ça me donne au résultat final , (2n+1)/ ((n+1)²*n²)
Comme n superieur ou égal à 2 alors 2n+1>0 car n€N
(n+1)²*n²>0
Donc u_n+1-u_n >O donc la suite est strictement croissante ...

[phys4]

Pour dire qu'elle est croissante il faut faire u_n+1-u_n ?

Bonjour Camille,
Suivant le type de suite il faut faire soit la différence, soit le rapport.
Comme il s'agit d'un produit de termes, il est clair qu'il vaut mieux faire le rapport. La réponse devient alors évidente.

Donc u_n+1-u_n >O donc la suite est strictement croissante ...

En plus, calcul erroné.
Pour la récurrence, il suffit de vérifier que la relation proposée est varie pour n = 2
puis en supposant la relation vraie pour n, montrer qu'elle est vraie pour (n+1), très facile avec la relation démontrée en 1A

La relation étant vérifiée, la limite devrait être simple, pensez à diviser les deux termes de la fraction par n, si vous ne voyez pas.

[ansset]

En plus, calcul erroné.
.

re phys,
je ne vois pas ou c'est erroné.
et je ne comprend non plus pourquoi il faut passer par une recurrence inutile

[invite105d8ea0]

Ah d'accord ; donc pour prouver qu'elle est croissante je fais donc : Un+1 / Un .
Ce qui me donne ((n(n+1)/(n+1)²)/(1-(1/n²)) ? Suis je obligée de résoudre cette opération ou je laisse tel quelle et je deduis que n(n+1)/(n+1)² est forcement positif ? etc ...

Je n'ai jamais fait de raisonnement par récurrence .. Il suffit juste de remplacer n par 2 alors ? Pouvez vous m'expliqué plus clairement sil vous plait ?
Merci de votre aide Phys !

[invite105d8ea0]

Je laisse ma precedente réponse ou je fais un rapport comme l'a dit Phys ?

[phys4]

Pour trouver le sens de variation, vous pouvez choisir l'une ou l'autre des solutions car même si vous faites
u_n+1 - u_n
alors u_n se met en facteur et cela donne

u_n+1 - u_n = - un/((n+1)²

D'après vous c'est toujours une suite croissante ?
Ensuite vous êtes libre de suivre l'énoncé, ou d'écrire toute la suite et passant en dénominateur commun et en simplifiant tous les termes possibles.
Comme vous l'aimez ?

[ansset]

houlala, quelle inatention de ma part.
elle est évidement décroissante.
toutes mes excuses à vous deux.

[invite0c60ffb1]

[QUOTE=ansset;4167473]@Selena :
ça ne se fait pas du tout de se greffer sur le post d'un autre.
tu dois initier un autre fil de discussion.

Bonsoir,

je m'excuse pour m'être incruster sur le post de camille, en fait je suis nouvelle sur le forum et je ne pensais pas que ça déplairait... comme le sujet parle des suites je me suis dit qu'il y avait pas de mal enfin c'est pas grave je ferais intention par la suite.

Merci

[invite0c60ffb1]

Non ansset il s'agit bien de ta 1ère proposition (1/3)*Vn...

[invite0c60ffb1]

Merci phys4 pour ta réponse, cependant tu voudrais bien me donner plus de détail je pense ne pas avoir compris... dans l'énoncé on me dit que Vn= Un-6 j'aurais besoin de cette donnée pour mon calcul?

merci

[invite105d8ea0]

Effectivement j'ai suivi votre raisonnement et la suite est bien décroissante ... Ma méthode me parraissait trop simple :/
Merci à vous deux de m'accorder du temps .
Mais le "raisonnement par récurrence" me pose toujours un problème .. . N'ayant eut aucune explication en cours si vous pouvez faire un exemple pour m'expliquer ou une definition ça m'aiderait beaucoup

[phys4]

Désolé Selena, il me faudrait l'énoncé complet, avec toutes ces suites, je ne sais plus de laquelle il s'agit.

Apparemment, il y a deux suites liées Un et Vn ?

Avec la nouvelle définition la suite Vn devient évidente. raison géométrique 1/3, mais comment est définit Un ?

[invite105d8ea0]

Car dans mon livre il parle de P(n) la proriété mais je ne vois pas le rapport avec la question !

[phys4]

Mais le "raisonnement par récurrence" me pose toujours un problème .. . N'ayant eut aucune explication en cours si vous pouvez faire un exemple pour m'expliquer ou une definition ça m'aiderait beaucoup

Pour démontrer qu'une loi Un = F(n) est vraie, en supposant qu'il est difficile de le démontrer directement pour toutes les valeurs, mais c'est évident pour les premières.
Le raisonnement par récurrence se compose de deux parties :
1 - valeur initiale , la valeur U1 = F(1) est évidente
2 - Récurrence ou hérédité : A partir d'une loi Un+1 = G(Un) nous supposons la propriété vraie pour Un donc Un+1 = G(F(n) ) si nous pouvons alors démontrer que Un+1 = F(n+1)
cela démontre qu'il suffit que ce soit vérifié pour la première valeur, ce sera vraie pour la seconde, etc...

[invite105d8ea0]

Merci beaucoup !!!
J'ai fait le résonnement par récurrence , et j'arrive a cette question suivante : a t-on (p+2)/(2p+2) mais apres je n'arrive pas a le trouv" , je sais Up*Up+1 et je trouve un résultat avec des cube ... Et en simplifiant il a un "3/4" en trop ... :/
J'ai refait le calcul plusieurs fois mais je trouver toujours le meme resulat avec ce"3/4" en trop ....

[phys4]

J'aurais du prendre l'exemple donné, au lieu de généraliser, mais je pense que vous comprendrais mieux le cadre général ensuite.

Vous avez une U_n pour laquelle vous avez démontré une relation entre termes successifs :
U_n+1 = U_n . n(n+2)/(n+1)² (A)

L'on demande de vérifier que cette suite vaut U_n = (n+1)/2n (R) ????
Démonstration
Le premier terme de la suite est U₂ = 1 - 1/4 = 3/4, donc la relation donnée est vraie pour n = 2
Récurrence : supposons la relation vraie pour U_n-1 = n /2(n-1) nous avons appliqué la relation (R)
Nous utilisons la relation A pour en déduire Un :


Donc si la relation est vraie pour n-1, elle est vraie pour n, comme elle est vérifiée pour n = 2, elle est donc vraie pour toute valeur n supérieure ou égale à 2.

[invite105d8ea0]

Merci Phys , votre démonstration est claire et j'ai compris facilement . Je vous remercie beaucoup de votre aide ...