[Terminale] Démonstration par récurrence

[invite99d3c88d]

Bonsoir tout le monde je bloque sur une démonstration par récurrence.
voici l'énoncer


(t_N) définie pour tout entier naturel n par t₀= 0 et t_N+1 = t_N+1/(n+1)(n+2)
montrer que tn= n/n+1.

voila ce que j'ai fais:

démontrons par récurrence que t_n= n/n+1.
soit Pn la proposition t_n= n/n+1. pour tout n entié appartenant au naturels

initialisation:
t₀ = 0/1 = 0 donc P₀ est vrai

Hérédité:
supposons que il existe un entier naturel n tel que P_n soit vrai montrons donc que Pn+1 est vrai

Pn=> t_n+1 = n/ (n+1) + 1/(n+1)(n+2)


je sais que je chercher a avoir t_n+1 = n+1/n+2 afin de pouvoir ecrire t_n= n/n+1 mais je bloques vraiment

help Merci
-----

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Il te suffit de mettre n/ (n+1) + 1/(n+1)(n+2) au même dénominateur.
Au numérateur, tu reconnaîtras un carré parfait qui se simplifie aisément avec une partie du dénominateur.

Duke.

[invite99d3c88d]

merci beaucoup! j'ai du manger avant de voir ta réponse . Je n'avais pas vu le produit remarquable lorsque on develloppe n(n+2)+1 et en obtenant dont (n+1)/(n+2) soit t_n+1
Encore merci d'avoir tolérer ma demande a bientôt (désolé du retard).