Récurrence Term S

[invitedf2a08e6]

Bonjour, je bloque sur mon exo de récurrence j'aurais besoin de votre aide merci

Pour tout entier n appartenant à N*, on pose :

Un :
n
Σ k2^k
k=1

1. Montrer par récurrence que pour tout n appartenant à N*, un = 2 + (n-1)2^(n+1)

2. Soit N un enteir naturel fixé. A l'aide d'une boucle tan que", écrire un algorithme déterminant le plus petit entier n tel que un > N
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[PlaneteF]

Bonjour,

Comme pour tout raisonnement par récurrence :

* Tu vérifies la relation au rang 1.

* Tu supposes ensuite la relation vraie au rang n, càd tu supposes que : u_n = 2 + (n-1)2ⁿ⁺¹

* Et tu dois démontrer que la relation est vraie au rang (n+1), càd tu dois démontrer que : u_n+1 = 2 + n.2ⁿ⁺², en utilisant la définition de la suite et l'hypothèse de récurrence précédente.


Quel problème as-tu par rapport à ce raisonnement ?

[invitedf2a08e6]

Le problème est que ne récurrence je comprend rien

P1 est vrai car U1 = k2^k = 1x2^1 = 2 > 1 ?

Par contre la suite du raisonnement n'es pas mon pts fort

[jamo]

Bonjour
k2^k , ça veut dire k ( puissance 2k) ?
si P1 vrai , tu démontres p(n+1) en considérant P(n) vrai comme l'a écrit notre Ami plus haut .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf2a08e6]

Bonjour
cela veut dire k x( 2)^k seul le 2 en puissance.
Mon calcule P1 est vrai ?

Oui mais le résultat final que je doit trouver doit être 2 + (n-1)2^(n+1) ?

[jamo]

oui le calcul P(1) est vrai pour ne pas dire True

[invitedf2a08e6]

Merci et pour la suite le résultat final est 2 + (n-1)2^(n+1) ?

[jamo]

il faudra écrire la somme de (n+1) termes
n+1
Σ k2^k = Σ k2^k (jusqu'à n) + .....
le premier terme suivant l’hypothèse de récurrence est 2 + (n-1)2n+1

[invitedf2a08e6]

n+1
Σ k2^k = Σ k2^k x ... x n = 2 + (n-1)2n+1 = .... = (résutat final ) 2 + (n-1)2^(n+1)

c'est bien cela ? escuse moi mais la récurrence c'est vraiment pas mon truque

[jamo]

la somme jusqu'à n vaut un = 2 + (n-1)2n+1 à cela faudra ajouter le terme k x( 2)^k en remplaçant k par (+1) et tu fais le calcul .
j'ai du mal avec k x( 2)^k , en fait c'est k*2(puissance k ) ?

[invitedf2a08e6]

oui seul le 2 a la puissance

et puis la c'est 2 + (n-1)*2puissance(n+1)

[jamo]

la somme jusqu'à n vaut un = 2 + (n-1)2n+1 à cela faudra ajouter le terme k x( 2)^k en remplaçant k par (n+1) et tu fais le calcul .
j'ai du mal avec k x( 2)^k , en fait c'est k*2(puissance k ) ?

j'ai corrigé mon erreur

[invitedf2a08e6]

je comprend mieu par contre tu peux me donner le résultat final comme sa je fais les étapes et je te montre pour pas que je m'égare stp

[jamo]

Un+1= (n+1)2puissance (n+1)
Un = 2 + (n-1)2puiisance(n+1) ( hypothèse de récurrence)
il suffit de sommer Un et Un+1 et factoriser , c'est pas compliqué et tu devrais y aboutir

[jamo]

je comprend mieu par contre tu peux me donner le résultat final comme sa je fais les étapes et je te montre pour pas que je m'égare stp

non désolé mais il a écrit plus haut PlaneteF

[invitedf2a08e6]

2 + (n-1)2n+1 + k x( 2)^k

n+1 x 2^n+1+2 + (n+1) x 2^n+1

je suis a la

[PlaneteF]

P1 est vrai car U1 = k2^k = 1x2^1 = 2 > 1 ?

La valeur de que tu donnes est correcte, par contre ce que tu écris là n'est pas une justification aboutie de .

Et puis que vient faire dans cette histoire ce "2 > 1" que tu écris là


Il faut montrer que : ( calculé par la formule à démontrer) = ( calculé à partir de la définition).

Ce qui donne :

calculé à partir de la définition

Cà c'est ce que tu as grosso modo écrit (maladroitement ).


Maintenant, on a aussi : ( calculé par la formule à démontrer) ,


... Or çà il ne faut pas oublier de l'écrire aussi, sinon tu ne montres absolument rien !

[invitedf2a08e6]

Désolé je me suis inspiré d'un exemple vu en classe ^^

[invite622b19b0]

Une chèvre vit dans un enclos rectangulaire. Elle est attachée à un piquet au pied de sa cabane, elle aussi de forme rectangulaire. L’enclos est entouré d’une barrière assez basse qui permet à la chèvre de manger les savoureuses fleurs plantées au bord du chemin.
Le propriétaire souhaite renforcer la clôture pour empêcher la chèvre de tout dévorer.

Le schéma ci-dessus représente l’enclos et la zone hachurée correspond au parterre de fleurs le long du chemin. La chaîne de la chèvre est attachée à un piquet au point P.
Les distances sont exprimées en mètres.
Sachant que la chèvre est attachée à une chaîne de 8 m, détermine la partie de la clôture que le propriétaire doit renforcer et la longueur de celle-ci.

[gg0]

Ayoub,

tu crois vraiment qu'en remettant ton message dans celui d'un autre, tu vas inciter à te répondre ? Crois-tu vraiment que ton impolitesse va t'aider ?

[invite622b19b0]

ok exuse moi
mais c por demain et je suis coincé desolé

[invitedf2a08e6]

tien ayoub http://www.ilemaths.net/forum-sujet-435153.html

[invitedf2a08e6]

pour pn+1 planete f

2 + (n-1)2n+1 + k x( 2)^k

n+1 x 2^n+1+2 + (n+1) x 2^n+1

je peut simplifié des choses ?

[PlaneteF]

2 + (n-1)2n+1 + k x( 2)^k

Nan mais c'est quoi cette bouillie ... Je vois bien ce que tu veux écrire mais écrit comme cela et bien cela ne veut rien dire du tout

n+1 x 2^n+1+2 + (n+1) x 2^n+1

Rebelote, encore de la bouillie, ... il manque des parenthèses pour que ce soit vraiment lisible et il y a une erreur de signe ...


Ecrit proprement cela donne :


(par définition)





(en utilisant l'hypothèse de récurrence sur )


Je te laisse mettre en facteur entre le 2^e et le 3^e terme, ... et la relation est bien démontrée au rang !

[invitedf2a08e6]

Euh ..

2+ 2^(n+1) (n-1)(n+1)
?

[jamo]

Bonjour
en attendant que PlaneteF finisse de digérer :
non ce n'est pas bon
pose x=2^(n+1) pour ne pas te tromper : 2+(n-1)*x+(n+1)*x

[PlaneteF]

2+ 2^(n+1) (n-1)(n+1)

Ecrire çà, c'est comme écrire : 6 pommes + 4 pommes = 24 pommes

en attendant que PlaneteF finisse de digérer :

[invitedf2a08e6]

2+(n-1)*x+(n+1)*x
2+(n-1)(n+1)*x ?

over confusion lol

[PlaneteF]

2+(n-1)*x+(n+1)*x
2+(n-1)(n+1)*x ?

over confusion lol

C'est over nimpe ske t'écris

Donc pour toi, si tu as dans ton sac (n-1) bananes et tu rajoutes (n+1) bananes, alors tu as en tout (n-1)(n+1) bananes !!!

[invitedf2a08e6]

Non sa fait 0 banane ?

2+(n-1)*x+(n+1)*x
= 2 * x ? car les n-1 et n+1 = 0 ?