Suite par recurrence Term S

[invitebac64493]

Bonjour je travaille sur un exercice depuis 1 heure sans reussir.
Voici l'énoncé :
Un+1=(4Un-2)/(Un+1)
Uo=3
1) dresser le tableau de variation de la fonction f définie sur ]-1;+infinie[ par ; f(x)=(4x-2)/(x+1)
J'ai fait la dérivé et j'ai trouvé que f(x) est croissante sur [0:+linfinie[ et j'ai dressé le tableau.
2)Demontrer par recurrence que pour tout entier n Un>2
Je fait proposition + initialisation sans probleme et j'arrive à l'hérédité et sa bloque je vous montre:
Un>2
4Un>8
16Un^3/Un>64
Et la je suis totalement bloqué.
En vous remerciant a l'avance , Jean
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Un+1=(4Un-2)/(Un+1)
Uo=3
1) dresser le tableau de variation de la fonction f définie sur ]-1;+infini[ par ; f(x)=(4x-2)/(x+1)
J'ai fait la dérivé et j'ai trouvé que f(x) est croissante sur [0:+infini[ et j'ai dressé le tableau.

Attention à la borne inférieure !

2)Démontrer par récurrence que pour tout entier n Un>2
Je fais proposition + initialisation sans problème

C'est rassurant

et j'arrive à l'hérédité et ça bloque je vous montre:
Un>2
4Un>8
16Un^3/Un>64
Et la je suis totalement bloqué.

Peux-tu nous rappeler le principe de l'hérédité ?

 Cliquez pour afficher

Ne serait-ce pas, ici, de vérifier que U_n+1>2 en supposant l'initialisation vérifiée ?

Duke.

[invitebac64493]

Avant tous merci pour votre réponse rapide. L'heredité c'est si P(n) => P(n+1) alors p(n) vrai.

[invitebac64493]

Je veux juste ajouter que habituellement notre prof de maths nous dis qu'il ne faut jamais partir du résultat qui est ici Un+1 ,peut être je me trompe?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonjour.

En effet, il faut partir du fait que U_n>2 (hypothèse de récurrence).
Il te faut vérifier que U_n+1>2.
Il te faut partir de l'expression de U_n+1 que tu modifies sous la forme

afin de mieux t'aider de l'hypothèse de récurrence rappelée ci-dessus

Duke.

[invitebac64493]

Merci pour ta réponse j'ai trouvé regarde!
4Un+4-6/Un+1 = 4-(6/Un+1) Donc je fait :
Un>2
Un+1>3
(1/4)+Un+1>3.25
4+(1/Un+1)>1/3.25
4-(6/Un+1)>1/3.25 + 28
voila merci beaucoup j'ai finiolé sur ma copie mais merci beaucoup^^.
Cordialement Jean

[Duke Alchemist]

Re-

Une horreur entre les deux étapes suivantes :

(1/4)+Un+1>3.25
4+(1/Un+1)>1/3.25

L'inverse d'une somme n'est pas égal à la somme des inverses !

On a bien

Ensuite, puisque (Hypothèse de récurrence)
alors (Ce que tu as écrit et on est d'accord)

Donc

soit

ou encore


Par conséquent,


Duke.

En espérant que tu liras ce post avant de rédiger ta copie !

[invitebac64493]

Merci beaucoup^^ ce n'est qu'un exercice à faire a la maison donc je me suis pas trop pressé merci pour ton aide, car j'étais un peu bloquer hier.

[invite78ddeff6]

Bonjour,
J'ai le même exercice à faire chez moi er je ne comprends pas comment il est possible de passer de Un+1= 4Un-2/(Un +1 ) à Un+1= 4-(6/Un+1) ... Pourriez vous m'expliquer ?
A Un+1= 4Un+4-6 / (Un+1) ou part le Un ?
Merci

[invite51d17075]

considères que -2=4-6
4Un-2=4Un+4-6=4(Un+1)-6
comme le dénominateur vaut (Un+1) on obtient la simplification.